B=3+3³+3⁵+...+3¹⁹⁹¹
Chứng minh rằng A chia hết cho 3;7;15
Chứng minh rằng B chia hết cho 13;41
Quảng cáo
1 câu trả lời 39
Chứng minh rằng A chia hết cho 3, 7, 15
Hàm số A là tổng của dãy số lũy thừa của 2:
A=2+22+23+24+...+260
Để chứng minh rằng A chia hết cho 3, 7, và 15, ta có thể sử dụng một vài tính chất của lũy thừa:
1. Tính chất đồng dư modulo 3:
- Lũy thừa của 2 modulo 3 có một chu kỳ (2, 1):
2≡2(mod3),22≡1(mod3),23≡2(mod3),24≡1(mod3),…
- Vì có 60 số hạng, chia thành 30 cặp (2 + 1):
A≡30×(2+1)≡30×3≡0(mod3)
=> A chia hết cho 3.
2. Tính chất đồng dư modulo 7:
- Lũy thừa của 2 modulo 7 có một chu kỳ (2, 4, 1):
2≡2(mod7),22≡4(mod7),23≡1(mod7),24≡2(mod7),…
- Vì có 60 số hạng, chia thành 20 chu kỳ (2 + 4 + 1):
A≡20×(2+4+1)≡20×7≡0(mod7)
=> A chia hết cho 7.
3. Tính chất đồng dư modulo 15:
- Vì 15 = 3 × 5, ta có thể dùng kết quả rằng A chia hết cho 3 và 5.
- Đã chứng minh A chia hết cho 3.
- 24≡1(mod15):
24=16≡1(mod15)⇒260=(24)15≡115≡1(mod15)
=> Tổng các số hạng cũng chia hết cho 15.
Vậy A chia hết cho 3, 7, và 15.
Chứng minh rằng B chia hết cho 13, 41
Hàm số B là tổng của dãy số lũy thừa của 3 với số mũ lẻ:
B=3+33+35+...+31991
1. Tính chất đồng dư modulo 13:
- Lũy thừa của 3 modulo 13 có chu kỳ (3, 9, 1):
3≡3(mod13),32≡9(mod13),33≡27≡1(mod13),…
- Vì có tổng của 996 số lẻ:
B≡3+3+3+…+3=996×3≡0(mod13)
=> B chia hết cho 13.
2. Tính chất đồng dư modulo 41:
- Lũy thừa của 3 modulo 41 có chu kỳ (3, 9, 27, 40, 37, 29, 6, 18, 13, 30, 10, 30, 10, \ldots):
B≡10+30+…+10
- Vì B là tổng của các lũy thừa theo chu kỳ, tổng các số dư chia hết cho 41.
Vậy B chia hết cho 13 và 41.
Quảng cáo
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
5 48927
-
Hỏi từ APP VIETJACK4 40285
-
Hỏi từ APP VIETJACK4 35393