### Phần a: Chứng minh tam giác ADB đồng dạng với tam giác ADC, từ đó suy ra AD là tia phân giác của góc BAC

- Vì D là trung điểm của BC nên BD = CD.
- Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.
- AD là cạnh chung của hai tam giác ADB và ADC.

Theo tiêu chuẩn cạnh-góc-cạnh (SAS):
\[ \triangle ADB \sim \triangle ADC \]

Do đó:
\[ \angle BAD = \angle CAD \]

Vậy AD là tia phân giác của góc BAC.

### Phần b: Chứng minh AD vuông góc với BC

- Tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AD cũng là đường cao của tam giác.
- Do đó:
\[ \angle ADB = \angle ADC = 90^\circ \]

Vậy AD vuông góc với BC.

### Phần c: Chứng minh AD vuông góc với MN

- Trên cạnh AB và AC lấy lần lượt điểm M và N sao cho AM = AN.
- Ta có:
\[ \angle MAD = \angle NAD \]

Vì AM = AN và AD là tia phân giác của góc BAC nên tam giác AMN cân tại A.

- Gọi K là giao điểm của AD và MN. Ta cần chứng minh rằng AD vuông góc với MN.

- Xét tam giác AMN cân tại A, ta có:
\[ AD \text{ là đường trung tuyến ứng với cạnh MN} \]

Trong tam giác cân, đường trung tuyến đồng thời là đường cao, nên:
\[ AD \perp MN \]

### Phần d: Chứng minh P, M, N thẳng hàng

- Gọi O là trung điểm của BM. Trên tia đối của OD lấy P sao cho OD = OP.
- Do O là trung điểm của BM và OD = OP, ta có:
\[ OM = OP \]

- Vì O là trung điểm của BM nên OB = OM.
- Vì P và M đối xứng qua O nên:
\[ O, M, P \text{ thẳng hàng} \]

- Do AM = AN và AD là tia phân giác của góc BAC, ta có:
\[ M, N, P \text{ thẳng hàng theo đường đối xứng của tam giác } ABC \]

Vậy P, M, N thẳng hàng.

a`,`

Vì `DeltaABC` cân tại `A`(gt) nên `AB=AC`(đ/n tam giác cân)

Xét `DeltaADB` và `DeltaADC` có:

`AD` chung

`DB=DC`(gt)

`AB=AC`(cmt)

`=>DeltaADB=DeltaADC`(c-c-c)

`=>hat(BAD)=hat(CAD)`(2 góc t/ứ)

`=>AD` là tia phân giác `hat(BAC)`

b`,`

Vì `DeltaADB=DeltaADC`(cmt) nên `hat(ADB)=hat(ADC)`(2 góc t/ứ)

Mà `hat(ADB)+hat(ADC)=180^@`(kề bù) nên `hat(ADB)=hat(ADC)=180^@/2=90^@`

Hay `AD bot BC(1)`

c`,`

Vì `AM=AN`(gt) nên `DeltaAMN` cân tại `A`(đ/n tam giác cân)

`=>hat(AMN)=(180^@-hat(MAN))/2(2)`

Vì `DeltaABC` cân tại `A`(gt) nên `hat(ABC)=(180^@-hat(BAC))/2(3)`

Từ `(2),(3)=>hat(AMN)=hat(ABC)`

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên $MN//BC(4)$(DHNB 2 ĐT //)

Từ `(1),(4)=>AD bot MN`

d`,`

Xét `DeltaMOP` và `DeltaBOD` có:

`OM=OB`(gt)

`hat(MOP)=hat(BOD)`(đối đỉnh)

`OP=OD`(gt)

`=>DeltaMOP=DeltaBOD`(c-g-c)

`=>hat(OMP)=hat(OBP)`(2 góc t/ứ)

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên $MP//BD$(DHNB 2 ĐT //)

Hay $MP//BC(5)$

Từ `(4),(5)=>\overline{P,M,N}`