Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán một cách chi tiết.

### a) Xác định và tính góc giữa đường SB và mặt phẳng (SAC)

1. **Xác định tọa độ các điểm:**
- Điểm A (0, 0, 0)
- Điểm B (a, 0, 0)
- Điểm D (0, 2a, 0)
- Điểm C (a, 2a, 0)
- Điểm S (0, 0, a√6)
- Điểm M và N là trung điểm của BC và DC:
- M ((a + a)/2, (0 + 2a)/2, 0) = (a, a, 0)
- N ((0 + a)/2, (2a + 2a)/2, 0) = (a/2, 2a, 0)

2. **Tọa độ điểm B và mặt phẳng (SAC):**
- Mặt phẳng (SAC) có phương trình vector pháp tuyến là vector tích của SA và AC.
- Vector \( \overrightarrow{SA} = (0 - 0, 0 - 0, a√6 - 0) = (0, 0, a√6) \)
- Vector \( \overrightarrow{AC} = (a - 0, 2a - 0, 0 - 0) = (a, 2a, 0) \)
- Vector pháp tuyến của mặt phẳng (SAC) là:
\[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{SA} \times \overrightarrow{AC} = (0, 0, a√6) \times (a, 2a, 0) = (-2a^2√6, a^2√6, 0) \]

3. **Tính góc giữa SB và mặt phẳng (SAC):**
- Vector \( \overrightarrow{SB} = (a - 0, 0 - 0, 0 - a√6) = (a, 0, -a√6) \)
- Góc giữa đường SB và mặt phẳng (SAC) là góc giữa vector \( \overrightarrow{SB} \) và vector pháp tuyến \( \overrightarrow{n} \).
- Vector \( \overrightarrow{n} = (-2a^2√6, a^2√6, 0) \)
- Cosine góc \( \theta \) giữa \( \overrightarrow{SB} \) và \( \overrightarrow{n} \) được xác định bởi:
\[
\cos \theta = \frac{|\overrightarrow{SB} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{SB}| \cdot |\overrightarrow{n}|}
\]
- \( \overrightarrow{SB} \cdot \overrightarrow{n} = a(-2a^2√6) + 0(a^2√6) + (-a√6)(0) = -2a^3√6 \)
- Độ dài \( |\overrightarrow{SB}| = \sqrt{a^2 + 0 + (a√6)^2} = \sqrt{a^2 + 6a^2} = a√7 \)
- Độ dài \( |\overrightarrow{n}| = \sqrt{(-2a^2√6)^2 + (a^2√6)^2 + 0} = \sqrt{24a^4 + 6a^4} = a^2√30 \)
- Do đó, góc \( \theta \):
\[
\cos \theta = \frac{|-2a^3√6|}{a√7 \cdot a^2√30} = \frac{2a^3√6}{a^3√210} = \frac{2√6}{√210} = \sqrt{\frac{3}{105}} = \frac{\sqrt{5}}{5}
\]
- Vậy, góc giữa đường SB và mặt phẳng (SAC) là:
\[
\theta = \arccos \left( \frac{\sqrt{5}}{5} \right)
\]

### b) Xác định và tính góc giữa đường SA và mặt phẳng (SDM)

1. **Xác định tọa độ các điểm:**
- S đã biết, tọa độ D là (0, 2a, 0), M (a, a, 0).

2. **Tọa độ mặt phẳng (SDM):**
- Vector \( \overrightarrow{SD} = (0 - 0, 2a - 0, 0 - a√6) = (0, 2a, -a√6) \)
- Vector \( \overrightarrow{SM} = (a - 0, a - 0, 0 - a√6) = (a, a, -a√6) \)
- Vector pháp tuyến của mặt phẳng (SDM) là:
\[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{SD} \times \overrightarrow{SM} = (0, 2a, -a√6) \times (a, a, -a√6) = (-a√6(a - 2a), -2a^2√6, 2a^2) = (a^2√6, -2a^2√6, -a^2) \]

3. **Tính góc giữa SA và mặt phẳng (SDM):**
- Vector \( \overrightarrow{SA} = (0, 0, a√6) \)
- Cosine góc \( \theta \) giữa \( \overrightarrow{SA} \) và vector pháp tuyến \( \overrightarrow{n} \):
\[
\cos \theta = \frac{|\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{SA}| \cdot |\overrightarrow{n}|}
\]
- \( \overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{n} = (0)(a^2√6) + (0)(-2a^2√6) + (a√6)(-a^2) = -a^3√6 \)
- Độ dài \( |\overrightarrow{SA}| = a√6 \)
- Độ dài \( |\overrightarrow{n}| = \sqrt{(a^2√6)^2 + (-2a^2√6)^2 + (-a^2)^2} = \sqrt{6a^4 + 24a^4 + a^4} = a^2√31 \)
- Do đó, góc \( \theta \):
\[
\cos \theta = \frac{|-a^3√6|}{a√6 \cdot a^2√31} = \frac{a^3√6}{a^3√186} = \frac{√6}{√186} = \sqrt{\frac{1}{31}} = \frac{1}{\sqrt{31}}
\]
- Vậy, góc giữa đường SA và mặt phẳng (SDM) là:
\[
\theta = \arccos \left( \frac{1}{\sqrt{31}} \right)
\]