Chứng minh rằng : 142+152+162+...+
Quảng cáo
2 câu trả lời 128
Để chứng minh \sum_{n=4}^{100} \frac{1}{n^2} < \frac{1}{3}, ta sẽ ước lượng tổng này.
Ta có:
\sum_{n=4}^{100} \frac{1}{n^2} \approx \int_3^\infty \frac{1}{x^2} \, dx
Tính tích phân:
\int_3^\infty \frac{1}{x^2} \, dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_3^\infty = 0 - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3}
Do đó, tổng \sum_{n=4}^{100} \frac{1}{n^2} nhỏ hơn \frac{1}{3}, vì tổng này nhỏ hơn tích phân \int_3^\infty \frac{1}{x^2} \, dx
Kết luận: \sum_{n=4}^{100} \frac{1}{n^2} < \frac{1}{3}.
Để chứng minh rằng:
\frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{6^2} + \frac{1}{7^2} + ... + \frac{1}{100^2} < \frac{1}{3}
Chúng ta sẽ sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản để ước lượng các giá trị.
Đặt S là tổng:
S = \sum_{n=4}^{100} \frac{1}{n^2}
Đầu tiên, chúng ta biết rằng:
\frac{1}{n^2} < \frac{1}{n(n-1)}
Do đó:
\sum_{n=4}^{100} \frac{1}{n^2} < \sum_{n=4}^{100} \frac{1}{n(n-1)}
Bây giờ, ta tách \frac{1}{n(n-1)} thành các phần tử nhỏ hơn:
\frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}
Khi đó, ta có:
\sum_{n=4}^{100} \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \right)
Điều này tương đương với:
\left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right) + ... + \left( \frac{1}{99} - \frac{1}{100} \right)
Các giá trị ở giữa sẽ triệt tiêu lẫn nhau, chỉ còn lại:
\frac{1}{3} - \frac{1}{100}
Khi đó:
\sum_{n=4}^{100} \frac{1}{n^2} < \frac{1}{3} - \frac{1}{100}
Cuối cùng, ta có:
\frac{1}{3} - \frac{1}{100} = \frac{100 - 3}{300} = \frac{97}{300}
Vì:
\frac{97}{300} < \frac{1}{3}
Do đó, chúng ta đã chứng minh được rằng:
\frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{6^2} + \frac{1}{7^2} + ... + \frac{1}{100^2} < \frac{1}{3}
Quảng cáo
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
Điền vào chỗ trống trong bảng thanh toán sau:
Số thứ tự Loại hàng Số lượng (quyển) Giá đơn vị (đồng) Tổng số tiền (đồng) 1 Vở loại 1 35 2000 ... 2 Vở loại 2 42 1500 ... 3 Vở loại 3 38 1200 ... Cộng: ... 167421 -
77465
-
34816
-
31794
-
sad
260 điểm
-
୭୨୧Đức亗୨୧୭⚡️⚽️
190 điểm
-
id 072019 w/n
70 điểm
-
✨정영서 (Jeong Yeong-seo)
60 điểm
-
Zin Phan 55 điểm
-
郑金志
50 điểm
-
જ⁀➴ɲɦư♡
50 điểm
-
ххəwyв
50 điểm
-
Vân Anh Phạm 40 điểm
-
୭୨୧ɴᴀԍι亗⚽୨୧୭✔️
35 điểm
-
Maria Xoan 35 điểm
-
Ngọc Hânn 30 điểm
-
Beautiful girl 🎀
25 điểm
Rút gọn
Bài viết mới nhất Lớp 6
-
2 năm trước4510
-
2 năm trước4312
-
2 năm trước4469
-
2 năm trước4183
