Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh $\sum_{n=4}^{100} \frac{1}{n^2} < \frac{1}{3}$, ta sẽ ước lượng tổng này.

Ta có:

$\sum_{n=4}^{100} \frac{1}{n^2} \approx \int_3^\infty \frac{1}{x^2} \, dx$

Tính tích phân:

$\int_3^\infty \frac{1}{x^2} \, dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_3^\infty = 0 - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3}$

Do đó, tổng $\sum_{n=4}^{100} \frac{1}{n^2}$ nhỏ hơn $\frac{1}{3}$, vì tổng này nhỏ hơn tích phân $\int_3^\infty \frac{1}{x^2} \, dx$

Kết luận: $\sum_{n=4}^{100} \frac{1}{n^2} < \frac{1}{3}$.

Answer 2

Để chứng minh rằng:
\[ \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{6^2} + \frac{1}{7^2} + ... + \frac{1}{100^2} < \frac{1}{3} \]

Chúng ta sẽ sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản để ước lượng các giá trị.

Đặt $ S $ là tổng:
\[ S = \sum_{n=4}^{100} \frac{1}{n^2} \]

Đầu tiên, chúng ta biết rằng:
\[ \frac{1}{n^2} < \frac{1}{n(n-1)} \]
Do đó:
\[ \sum_{n=4}^{100} \frac{1}{n^2} < \sum_{n=4}^{100} \frac{1}{n(n-1)} \]

Bây giờ, ta tách $\frac{1}{n(n-1)}$ thành các phần tử nhỏ hơn:
\[ \frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \]

Khi đó, ta có:
\[ \sum_{n=4}^{100} \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \right) \]

Điều này tương đương với:
\[ \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right) + ... + \left( \frac{1}{99} - \frac{1}{100} \right) \]

Các giá trị ở giữa sẽ triệt tiêu lẫn nhau, chỉ còn lại:
\[ \frac{1}{3} - \frac{1}{100} \]

Khi đó:
\[ \sum_{n=4}^{100} \frac{1}{n^2} < \frac{1}{3} - \frac{1}{100} \]

Cuối cùng, ta có:
\[ \frac{1}{3} - \frac{1}{100} = \frac{100 - 3}{300} = \frac{97}{300} \]

Vì:
\[ \frac{97}{300} < \frac{1}{3} \]

Do đó, chúng ta đã chứng minh được rằng:
\[ \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{6^2} + \frac{1}{7^2} + ... + \frac{1}{100^2} < \frac{1}{3} \]

...Xem thêm

Answer 3