Hãy cùng nhau tính giới hạn sau:

\[ \lim_{{n \to \infty}} \left( \sqrt{9n^2 + 4n} - 3n \right) \]

Để tính giới hạn này, ta cần biến đổi biểu thức cho dễ dàng hơn:

1. **Đưa về dạng √9n²:**
\[ \lim_{{n \to \infty}} \left( \sqrt{9n^2 + 4n} - 3n \right) \]

2. **Nhân và chia với \(\sqrt{9n^2 + 4n} + 3n\):**
\[ \lim_{{n \to \infty}} \frac{\left( \sqrt{9n^2 + 4n} - 3n \right) \left( \sqrt{9n^2 + 4n} + 3n \right)}{\sqrt{9n^2 + 4n} + 3n} \]

This simplifies to:
\[ \lim_{{n \to \infty}} \frac{(9n^2 + 4n) - (3n)^2}{\sqrt{9n^2 + 4n} + 3n} \]

3. **Simplify the numerator:**
\[ \lim_{{n \to \infty}} \frac{4n}{\sqrt{9n^2 + 4n} + 3n} \]

4. **Factor out \(n\) from the denominator:**
\[ \frac{4n}{\sqrt{n^2 (9 + \frac{4}{n})} + 3n} \]
= \(\frac{4n}{n \sqrt{9 + \frac{4}{n}} + 3n}\)
= \(\lim_{{n \to \infty}} \frac{4n}{n( \sqrt{9 + \frac{4}{n}} + 3)}\)

5. **Cancel out the common term:**
\[\lim_{{n \to \infty}} \frac{4}{ \sqrt{9 + \frac{4}{n}} + 3}.\]

6. **Apply the limit:**
As \( n \to \infty \), \(\frac{4}{n} \to 0\):
\[\lim_{{n \to \infty}} \frac{4}{ \sqrt{9 + 0} + 3}\]
= \(\frac{4}{3 + 3}\)
= \(\frac{4}{6}\)
= \(\frac{2}{3}\).

Vậy là giới hạn của biểu thức trên khi \( n \to \infty \) là \(\frac{2}{3}\).