Để giải bài toán này, trước hết ta cần xem xét các yếu tố đã cho trong tam giác ABC, với các cạnh và góc tương ứng như sau:

AB=2aAB=2a
BC=4aBC=4a
AC=2aAC=2a
∠ABC=60∘∠ABC=60∘
Dưới đây là phân tích cho từng đáp án:

a) ABAB và BCBC cùng phương
Đáp án: Sai

Giải thích: Do tam giác ABC có góc ∠ABC=60∘∠ABC=60∘ và cạnh BC được cho là 4a, trong khi cạnh AB là 2a. Hai cạnh này không nằm trên cùng một đường thẳng, vì cạnh AB không bị kéo dài để trùng với cạnh BC, do đó không cùng phương.

b) vtCA−vtCB=vtABvtCA−vtCB=vtAB
Đáp án: Đúng

Giải thích: Theo quy tắc về vectơ trong tam giác, ta có:

vtCB=−vtBCvtCB=−vtBC
và

vtCA=vtAB+vtBCvtCA=vtAB+vtBC
Suy ra ta có:

vtCA−vtCB=vtCA+vtBC=vtABvtCA−vtCB=vtCA+vtBC=vtAB
Do đó phương trình này đúng.

c) ∣vtAB+vtBC∣=2a−3∣vtAB+vtBC∣=2a−3​
Đáp án: Sai

Giải thích: Đầu tiên, ta cần tính toán tổng vectơ vtABvtAB và vtBCvtBC. Với AB=2aAB=2a và BC=4aBC=4a cùng với góc giữa hai vectơ là 60°, ta có

∣vtAB+vtBC∣=(2a)2+(4a)2+2⋅2a⋅4a⋅cos⁡(60∘)=4a2+16a2+8a2=28a2=2a7.∣vtAB+vtBC∣=(2a)2+(4a)2+2⋅2a⋅4a⋅cos(60∘)​=4a2+16a2+8a2​=28a2​=2a7​.
Kết quả không bằng 2a−32a−3​.

d) ∣vtAC−vtBA∣=4a∣vtAC−vtBA∣=4a
Đáp án: Sai

Giải thích: Tương tự như phần c, ta sẽ tính ∣vtAC−vtAB∣∣vtAC−vtAB∣. Ta có:

vtACvtAC và vtABvtAB có cạnh AC bằng 2a; độ dài tương ứng không thể bằng 4a vì chiều dài của cạnh là lớn hơn tổng chiều dài còn lại trong tam giác:

Sử dụng định thức:

∣vtAC−vtAB∣=∣vtAC+(−vtAB)∣ thıˋ khoˆng ba˘ˋng 4a.∣vtAC−vtAB∣=∣vtAC+(−vtAB)∣ thıˋ khoˆng ba˘ˋng 4a.
Vì vậy, ∣vtAC−vtBA∣∣vtAC−vtBA∣ không thể bằng 4a trong cấu hình của tam giác đã cho.

Để tóm lại:

a: Sai
b: Đúng
c: Sai
d: Sai