Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi từng phần một. Đầu tiên, giả định rằng MM là trung điểm của ABAB trong tam giác ABCABC, và NN là giao điểm của đường thẳng đi qua MM và song song với BCBC cắt ACAC.

a) Chứng minh MNMN là đường trung bình của tam giác ABCABC
Để chứng minh rằng MNMN là đường trung bình của tam giác ABCABC, ta cần:

MNMN song song với BCBC.
Đoạn thẳng MNMN bằng một nửa đoạn BCBC.
Từ giả thiết, ta đã có MNMN song song với BCBC bởi vì nó được kẻ từ MM là trung điểm của ABAB đi qua MM.

Vì MM là trung điểm của ABAB, theo định nghĩa đường trung bình trong tam giác, ta có:

Đoạn thẳng MNMN chia tam giác ABCABC thành hai tam giác nhỏ hơn là AMNAMN và MNCMNC, đồng thời còn bài toán về tỉ lệ cũng cho thấy rằng chiều dài của MNMN bằng 1221​ chiều dài của BCBC thông qua thuộc tính của đường trung bình.
Vậy, ta có chứng minh kết luận rằng:

MN laˋ đường trung bıˋnh của tam giaˊc ABC.MN laˋ đường trung bıˋnh của tam giaˊc ABC.
b) Tia phân giác của góc AA cắt BCBC tại II, vẽ điểm KK sao cho NN là trung điểm của IKIK. Tứ giác AICKAICK là hình gì? Vì sao?
Giải thích: Khi NN là trung điểm của IKIK và AIAI là tia phân giác của góc AA, nó cho thấy rằng ANAN chia đoạn IKIK thành hai đoạn bằng nhau.
Tứ giác AICKAICK là hình thang. Cụ thể hơn, vì MN∥BCMN∥BC (từ phần a) và AIAI là tia phân giác của góc AA, điểm II nằm phía trên đường thẳng BCBC, do đó:

AN∥IKAN∥IK vì NN là trung điểm.
Tứ giác AICKAICK có các cạnh đối diện song song với nhau.
Kết luận: Tứ giác AICKAICK là hình thang.

c) Chứng minh BI×NC=IC×MBBI×NC=IC×MB
Để chứng minh đẳng thức này, ta sẽ sử dụng tính chất của đường phân giác trong tam giác ABCABC và một số phương trình hình học.

Từ định lý phân giác, ta có:
ABAC=BIICACAB​=ICBI​
Sử dụng MBMB, là trung điểm ABAB, ta có:
MB=12ABvaˋNC=12BCMB=21​ABvaˋNC=21​BC
Bằng cách thiết lập tỉ số và thay thế vào, ta có thể dễ dàng chứng minh công thức:

BI×NC=IC×MB.BI×NC=IC×MB.
Vì vậy: (Sử dụng đẳng thức tỉ lệ giữa đoạn thẳng).

Tóm tắt:
a: MNMN là đường trung bình của tam giác ABCABC.
b: Tứ giác AICKAICK là hình thang.
c: Chứng minh BI×NC=IC×MBBI×NC=IC×MB.