Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán này dựa trên các thông tin đã cho:

a) Chứng minh tứ giác ADCHADCH là hình chữ nhật
Để chứng minh rằng ADCHADCH là hình chữ nhật, ta cần kiểm tra các điều kiện sau:

Cạnh AHAH vuông góc với cạnh BCBC: Do tam giác ABCABC vuông tại AA, AHAH là đường cao, suy ra AH⊥BCAH⊥BC.
Hai cạnh đối diện bằng nhau:

Tính toán độ dài các đoạn: Chúng ta cần chỉ ra rằng ADAD và CHCH là hai đoạn thẳng song song và bằng nhau, cũng như AHAH và DCDC là hai cạnh đối diện.
Vì MM là trung điểm của ACAC, ta có:

AM=MCAM=MC
MD=MHMD=MH (theo đề bài)
Do điểm DD nằm trên tia đối của MHMH, có nghĩa là AHAH là trung điểm của MDMD.
Xét các góc:

Từ điều kiện AH⊥BCAH⊥BC và MD=MHMD=MH, suy ra ∠AHD=90∘∠AHD=90∘.
Vậy tứ giác ADCHADCH có 2 cặp cạnh đối diện song song và làm với nhau các góc vuông.
Do đó, theo định nghĩa, tứ giác ADCHADCH là hình chữ nhật.

b) Gọi EE là trung điểm đối xứng của CC qua HH. Chứng minh rằng tứ giác ADHEADHE là hình bình hành
Để chứng minh rằng ADHEADHE là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của tứ giác này là song song:

Xét EE:EE là trung điểm đối xứng của CC qua HH nên HH chính là trung điểm của đoạn CECE.
Suy ra:
HE=HC.HE=HC.
Cặp cạnh đối diện:

Ta biết rằng ADAD song song với HEHE (do AD⊥AHAD⊥AH và các tính chất tương ứng với HH và MM).
Đồng thời, vì HH là trung điểm của ACAC và EE là vị trí đối xứng nên AE=HCAE=HC.
Hai cặp cạnh đối diện bằng nhau:

Ta có:AD∥HEAD∥HE và AH∥DEAH∥DE
AH=DEAH=DE (bởi HH trung điểm của cả ACAC và MCMC).
Do đó, tứ giác ADHEADHE có các cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau.

Vậy, tứ giác ADHEADHE là hình bình hành.

Tóm tắt:
a: Tứ giác ADCHADCH là hình chữ nhật.
b: Tứ giác ADHEADHE là hình bình hành.