Gọi $BC = a$.

Ta có $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = |\vec{AB}| |\vec{BC}| \cos(\angle ABC) = 2a \cdot 2a \cdot \cos(\angle ABC) = 4a^2 \cos(\angle ABC)$.

Trong tam giác ABC, ta có:

$AH = 2a \sin(\angle ABC)$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot 2a \sin(\angle ABC) = 2a^2 \sin(\angle ABC)$

Mặt khác, $S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} (2a)(2a) \sin(\angle ABC) = 2a^2 \sin(\angle ABC)$

Gọi $\angle ABC = \beta$.

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = |\vec{AB}| |\vec{BC}| \cos \beta = AB \cdot BC \cos \beta = (2a)(2a) \cos \beta = 4a^2 \cos \beta$.

 diện tích tam giác ABC là:

$S = \frac{1}{2} AB \cdot BC \sin \beta = \frac{1}{2} (2a)(2a) \sin \beta = 2a^2 \sin \beta$.

Mặt khác, diện tích tam giác ABC cũng được tính bằng:

$S = \frac{1}{2} BC \cdot AH = \frac{1}{2} (2a) AH = a AH$.

Từ đó, ta có $a AH = 2a^2 \sin \beta$, suy ra $AH = 2a \sin \beta$.

Nếu tam giác ABC là tam giác đều, thì $\beta = 60^\circ$, $\cos \beta = \frac{1}{2}$.

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 4a^2 \cos 60^\circ = 4a^2 \cdot \frac{1}{2} = 2a^2$.

Nếu tam giác ABC là tam giác vuông tại B, thì $\beta = 90^\circ$, $\cos \beta = 0$.

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 4a^2 \cos 90^\circ = 0$.

Kết luận: $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 4a^2 \cos(\angle ABC)$