a) Tính độ dài cạnh ABABAB và độ dài DEDEDE.
Theo định lý Pythagore:
AB=BC2−AC2=202−162=400−256=144=12 cm.AB = \sqrt{BC^2 - AC^2} = \sqrt{20^2 - 16^2} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12\, cm.AB=BC2−AC2​=202−162​=400−256​=144​=12cm.DDD là trung điểm BCBCBC, EEE là trung điểm ACACAC.
Tính DEDEDE:

Tọa độ giả định (cho dễ tính):

A=(0,0)A = (0, 0)A=(0,0),
C=(16,0)C = (16, 0)C=(16,0) (vì AC=16AC=16AC=16),
B=(0,12)B = (0, 12)B=(0,12) (vì AB=12AB=12AB=12).
Tọa độ điểm:

DDD trung điểm BCBCBC:
D=(0+162,12+02)=(8,6)D = \left(\frac{0 + 16}{2}, \frac{12 + 0}{2}\right) = (8, 6)D=(20+16​,212+0​)=(8,6)EEE trung điểm ACACAC:
E=(0+162,0+02)=(8,0)E = \left(\frac{0 + 16}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = (8, 0)E=(20+16​,20+0​)=(8,0)Độ dài DEDEDE:

DE=(8−8)2+(6−0)2=0+36=6 cm.DE = \sqrt{(8-8)^2 + (6-0)^2} = \sqrt{0 + 36} = 6\, cm.DE=(8−8)2+(6−0)2​=0+36​=6cm.
b) Chứng minh tứ giác BFCEBFCEBFCE là hình chữ nhật
Điểm FFF là trung điểm ABABAB:

F=(0+02,0+122)=(0,6).F = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0 + 12}{2}\right) = (0, 6).F=(20+0​,20+12​)=(0,6).Ta có tứ giác BFCEB F C EBFCE với các điểm:

B=(0,12)B = (0, 12)B=(0,12),
F=(0,6)F = (0, 6)F=(0,6),
C=(16,0)C = (16, 0)C=(16,0),
E=(8,0)E = (8, 0)E=(8,0).
Ta cần chứng minh BFCEBFCEBFCE là hình chữ nhật.

Xét các vector cạnh:
BF→=F−B=(0−0,6−12)=(0,−6)\overrightarrow{BF} = F - B = (0 - 0, 6 - 12) = (0, -6)BF=F−B=(0−0,6−12)=(0,−6) FC→=C−F=(16−0,0−6)=(16,−6)\overrightarrow{FC} = C - F = (16 - 0, 0 - 6) = (16, -6)FC=C−F=(16−0,0−6)=(16,−6) CE→=E−C=(8−16,0−0)=(−8,0)\overrightarrow{CE} = E - C = (8 -16, 0 - 0) = (-8, 0)CE=E−C=(8−16,0−0)=(−8,0) EB→=B−E=(0−8,12−0)=(−8,12)\overrightarrow{EB} = B - E = (0 - 8, 12 - 0) = (-8, 12)EB=B−E=(0−8,12−0)=(−8,12)Kiểm tra xem BFBFBF song song với CECECE:

BF→=(0,−6),CE→=(−8,0)\overrightarrow{BF} = (0, -6), \quad \overrightarrow{CE} = (-8, 0)BF=(0,−6),CE=(−8,0)Hai vector này vuông góc vì tích vô hướng bằng 0:

BF→⋅CE→=0×(−8)+(−6)×0=0\overrightarrow{BF} \cdot \overrightarrow{CE} = 0 \times (-8) + (-6) \times 0 = 0BF⋅CE=0×(−8)+(−6)×0=0Kiểm tra FCFCFC song song với EBEBEB:

FC→=(16,−6),EB→=(−8,12)\overrightarrow{FC} = (16, -6), \quad \overrightarrow{EB} = (-8, 12)FC=(16,−6),EB=(−8,12)Tỉ lệ không bằng nhau, nhưng kiểm tra tích vô hướng:

FC→⋅EB→=16×(−8)+(−6)×12=−128−72=−200≠0\overrightarrow{FC} \cdot \overrightarrow{EB} = 16 \times (-8) + (-6) \times 12 = -128 - 72 = -200 \neq 0FC⋅EB=16×(−8)+(−6)×12=−128−72=−200=0Vậy không vuông góc. Nhưng vì BFBFBF vuông góc CECECE, chúng là hai cạnh vuông góc.

Ta có thể kiểm tra thêm các góc khác:

Kiểm tra vector BF→\overrightarrow{BF}BF và EB→\overrightarrow{EB}EB:

BF→⋅EB→=0×(−8)+(−6)×12=−72≠0\overrightarrow{BF} \cdot \overrightarrow{EB} = 0 \times (-8) + (-6) \times 12 = -72 \neq 0BF⋅EB=0×(−8)+(−6)×12=−72=0Kiểm tra vector FC→\overrightarrow{FC}FC và CE→\overrightarrow{CE}CE:

FC→⋅CE→=16×(−8)+(−6)×0=−128≠0\overrightarrow{FC} \cdot \overrightarrow{CE} = 16 \times (-8) + (-6) \times 0 = -128 \neq 0FC⋅CE=16×(−8)+(−6)×0=−128=0Tứ giác này có 2 cạnh đối song song ( BFBFBF và CECECE không song song mà vuông góc), vậy BFCEBFCEBFCE không phải hình bình hành.

Kiểm tra lại xem BFCEBFCEBFCE có phải hình chữ nhật hay không:

BFBFBF vuông góc với FEFEFE (tính vector FE=E−F=(8−0,0−6)=(8,−6)FE = E - F = (8 - 0, 0 - 6) = (8, -6)FE=E−F=(8−0,0−6)=(8,−6))
BF→⋅FE→=0×8+(−6)×(−6)=36≠0\overrightarrow{BF} \cdot \overrightarrow{FE} = 0 \times 8 + (-6) \times (-6) = 36 \neq 0BF⋅FE=0×8+(−6)×(−6)=36=0Tứ giác này không phải hình chữ nhật.

Vậy giả thiết FFF là trung điểm ABABAB không đúng cho câu b).

Giải pháp khác:
Có thể FFF là giao điểm đường cao, phân giác hoặc trung tuyến nào đó. Nếu bạn có thêm thông tin, mình làm chính xác hơn nhé.

c) Chứng minh tứ giác BFEABFEABFEA là hình bình hành
Tương tự, nếu không rõ điểm FFF nằm đâu, khó chứng minh.

d) Trên tia đối của tia EFEFEF lấy điểm KKK sao cho EEE là trung điểm FKFKFK. Chứng minh AFCKAFCKAFCK là hình thoi

Bạn có muốn mình giả sử FFF là trung điểm ABABAB và làm phần này không? Hay bạn có hình vẽ hoặc thông tin điểm chính xác?