a) Chứng minh tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

Xét tứ giác AEMF có:

∠EAF = 90° (Vì tam giác ABC vuông tại A)
∠AEM = 90° (Vì ME ⊥ AB)
∠AFM = 90° (Vì MF ⊥ AC)
Vậy tứ giác AEMF có ba góc vuông, suy ra AEMF là hình chữ nhật.
b) Chứng minh tứ giác BEFM là hình bình hành.

Vì AEMF là hình chữ nhật (chứng minh trên) nên AE = MF và AE // MF.
Tam giác ABC có AM là đường trung tuyến nên M là trung điểm của BC.
Xét tam giác ABC vuông tại A có:ME // AC (cùng vuông góc với AB)
M là trung điểm BC
Suy ra E là trung điểm AB (đường trung bình của tam giác)
Do đó AE = EB.
Từ AE = MF và AE = EB suy ra EB = MF.
Mà EB // MF (Vì AE // MF và E thuộc AB).
Xét tứ giác BEFM có:EB = MF (chứng minh trên)
EB // MF (chứng minh trên)
Vậy tứ giác BEFM là hình bình hành.
c) Chứng minh tứ giác EFMH là hình thang cân.

Vì AEMF là hình chữ nhật (chứng minh trên) nên EM // AF hay EM // AC.
Vì ME // AC nên ∠MEB = ∠ACB (hai góc đồng vị).
Tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên AM = BM = CM = BC/2.
Suy ra tam giác AMC cân tại M, do đó ∠MAC = ∠MCA hay ∠HAF = ∠FCA.
Mà ∠HAF = ∠FEA (Vì AEMF là hình chữ nhật) và ∠FCA = ∠ACB (Vì C, F, A thẳng hàng)
Do đó ∠FEA = ∠ACB.
Từ ∠MEB = ∠ACB và ∠FEA = ∠ACB suy ra ∠MEB = ∠FEA.
Mà ∠MEB = ∠MFE (Vì BEFM là hình bình hành)
Do đó ∠MFE = ∠FEA.
Xét tam giác AHE vuông tại H có: ∠HEA + ∠HAE = 90°.
Xét tam giác AHE vuông tại H có: ∠AHF + ∠HAF = 90°.
Mà ∠HEA = ∠FEA (Vì AEMF là hình chữ nhật) và ∠HAF = ∠FEA (chứng minh trên)
Do đó ∠AHF = ∠HEA = ∠FEA = ∠MFE = ∠MEB = ∠ACB = ∠MCA = ∠MAC.
Xét tam giác vuông AHE có ∠HEA = ∠MHB (hai góc đối đỉnh), do đó ∠MHB = ∠AHF.
Xét tam giác BHM có: ∠MHB = ∠MBH (Vì tam giác MAB cân tại M) nên tam giác BHM cân tại H
Suy ra ∠MHB = ∠MBH hay ∠MHB = ∠HBE.
Mà ∠MHB = ∠AHF (chứng minh trên) và ∠HBE = ∠FEA (chứng minh trên)
Do đó ∠AHF = ∠FEA hay ∠FHE = ∠HEF.
Xét tứ giác EFMH có:

EM // HF (Vì EM // AC và H thuộc AC)
Suy ra EFMH là hình thang.
Mà ∠FHE = ∠HEF (chứng minh trên)
Vậy tứ giác EFMH là hình thang cân.