xac dinh  các hình và tính chất cơ bản trước đã 

Tứ giác AEDF: Vì DE // AC (cùng vuông góc AB) và DF // AB (cùng vuông góc AC) nên AEDF là hình bình hành. Hơn nữa, góc DAF = 90 độ (tam giác ABC vuông tại A) nên AEDF là hình chữ nhật.
Tứ giác BIDE: Vì I đối xứng với D qua E nên E là trung điểm của ID. Ta cũng có E là trung điểm của AB (do AEDF là hình chữ nhật nên hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường). Suy ra BIDE là hình bình hành (tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).
Tam giác AID: Có AH là đường cao (DH vuông góc AI), do BIDE là hình bình hành nên BI // DE, mà DE vuông góc AB nên BI vuông góc AB. Tam giác ABI có BI là đường cao đồng thời là đường trung tuyến (I đối xứng D qua E, D là trung điểm BC nên BI đi qua trung điểm D của AE), suy ra tam giác ABI cân tại B. Vậy BI cũng là phân giác góc ABI, hay góc ABI = góc IBD.
2. Chứng minh các tam giác đồng dạng và suy ra góc:

Tam giác HAE và tam giác HID đồng dạng:Góc HAE = góc HID (cùng phụ với góc IAD).
Góc AHE = góc IHD (đối đỉnh).
Suy ra tam giác HAE đồng dạng tam giác HID (g.g).
Do đó, góc AEH = góc IDH.
Tam giác AHE và tam giác FCD đồng dạng:Góc HAE = góc FCD (cùng phụ với góc C).
Góc AEH = góc CFD = 90 độ.
Suy ra tam giác AHE đồng dạng tam giác FCD (g.g).
Do đó, góc AHE = góc FDC.
Suy ra góc IDH = góc FDC (cùng bằng góc AEH).
3. Chứng minh HE vuông góc HF:

Ta có góc IDH = góc FDC (cmt).
Mà góc IDH + góc HDB = 90 độ (do tam giác IDB vuông tại D).
Suy ra góc FDC + góc HDB = 90 độ.
Trong tam giác FDC có: góc FDC + góc DCF + góc CFD = 180 độ.
Mà góc CFD = 90 độ.
Suy ra góc FDC + góc DCF = 90 độ.
Từ hai điều trên suy ra: góc DCF = góc HDB.
Ta có D là trung điểm BC nên BD=CD.
Mà DC=BD, góc DCF=góc HDB(cmt), góc CFD=góc BDA (do AEDF là hình chữ nhật nên DE//AC suy ra góc BDA=góc CFD), suy ra tam giác BHD= tam giác CFD(g.c.g).
Suy ra BH=FC
Mà AE=DF(do AEDF là hình chữ nhật), BH=FC(cmt) suy ra tam giác BHE= tam giác DFC(c.g.c)
Suy ra góc HEB=góc FCD.
Mà góc FCD+ góc CFD+góc FDC=180 độ, góc CFD=90 độ
Suy ra góc FCD+góc FDC=90 độ.
Hay góc HEB+góc FDC=90 độ.
Ta có góc HEB+ góc HEF+ góc FED = 180 độ.
Mà góc FED= góc FAD= 90 độ(do AEDF là hình chữ nhật)
Suy ra góc HEB+ góc HEF=90 độ
Lại có góc HEB+góc FDC=90 độ
Suy ra góc HEF= góc FDC
Mà góc FDC+ góc CFD+ góc FCD= 180 độ, góc CFD=90 độ, góc HEF= góc FDC(cmt)
Suy ra góc HEF+ góc FCD=90 độ
Lại có góc HFE+ góc FCD+ góc CFD=180 độ, góc CFD=90 độ
Suy ra góc HFE+ góc FCD=90 độ
Mà góc HEF+ góc FCD=90 độ
Suy ra góc HEF=góc HFE
Ta có góc EHF= góc HEF+ góc HFE
Mà góc HEF=góc HFE(cmt), góc HEF+ góc FCD=90 độ
Suy ra góc EHF=2.góc HEF=2.(90 độ - góc FCD)= 180 độ - 2.góc FCD
Mà ta luôn có góc FCD khác 90 độ, suy ra góc EHF= 180 độ - 2.góc FCD khác 0 độ
Suy ra góc EHF không bằng 0 độ, hay E,H,F không thẳng hàng.
Ta có: góc EHF + góc FHD = góc EHD = 90 độ (do tam giác EHD vuông tại H).
Mà góc HEF+ góc FCD=90 độ
Suy ra góc EHF = góc HEF.
Lại có: góc EHF + góc HFE = 180 độ - góc HEF (tổng ba góc trong tam giác EHF).
Suy ra 2.góc EHF = 180 độ - góc HEF.
Hay 2.góc EHF = 90 độ + góc FCD.
Suy ra góc EHF = 45 độ + 0.5.góc FCD.
Mà góc EHF + góc FHD = 90 độ.
Suy ra góc FHD = 45 độ - 0.5.góc FCD.
Ta lại có góc EHF + góc FHD = 90 độ, góc HEF + góc FCD = 90 độ.
Suy ra góc EHF + góc FHD = góc HEF + góc FCD.
Mà góc EHF = góc HEF.
Suy ra góc FHD = góc FCD.
Suy ra góc EHF + góc FHD = 90 độ.
Vậy HE vuông góc với HF.