Chúng ta cùng giải chi tiết từng phần của bài toán này nhé!

### Phần A: Chứng minh rằng \( \triangle AMB = \triangle AMC \) và \( AM \) vuông góc \( BC \)

1. **Chứng minh \( \triangle AMB = \triangle AMC \)**:
- \( M \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( BM = MC \).
- \( AM \) là cạnh chung.
- Góc \( \angle AMB \) và góc \( \angle AMC \) đều là góc vuông.

Theo tiêu chuẩn cạnh-góc-cạnh (SAS), ta có:
\[ \triangle AMB = \triangle AMC \]

2. **Chứng minh \( AM \) vuông góc \( BC \)**:
- Vì \( \triangle AMB = \triangle AMC \), hai tam giác này đối xứng qua \( AM \), do đó \( AM \) là đường trung tuyến và đường cao của tam giác \( \triangle ABC \).
- Do đó, \( AM \) vuông góc với \( BC \).

### Phần B: Chứng minh rằng \( \triangle ANK = \triangle BNC \) và \( AK \parallel BC \)

1. **Chứng minh \( \triangle ANK = \triangle BNC \)**:
- \( N \) là trung điểm của \( AB \), do đó \( AN = NB \).
- \( K \) đối xứng với \( N \) qua \( C \), do đó \( NK = NC \).
- Góc \( \angle ANK \) và góc \( \angle BNC \) đối đỉnh, nên bằng nhau.

Theo tiêu chuẩn cạnh-góc-cạnh (SAS), ta có:
\[ \triangle ANK = \triangle BNC \]

2. **Chứng minh \( AK \parallel BC \)**:
- Vì \( N \) là trung điểm của \( AB \) và \( K \) đối xứng với \( N \) qua \( C \), nên:
\[ NK = NC \]
- Do đó, \( AK \) và \( BC \) là hai đoạn thẳng song song.

### Phần C: Chứng minh \( AK = 2 \cdot MC \). Tính số đo của góc \( \angle MAK \)

1. **Chứng minh \( AK = 2 \cdot MC \)**:
- Do \( K \) đối xứng với \( N \) qua \( C \) và \( N \) là trung điểm của \( AB \), ta có:
\[ AK = 2 \cdot NC \]
- Vì \( N \) là trung điểm của \( AB \) và \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên \( NC = MC \).

Kết luận:
\[ AK = 2 \cdot MC \]

2. **Tính số đo của góc \( \angle MAK \)**:
- Vì \( AK \parallel BC \) và \( AM \) vuông góc \( BC \), nên \( \angle MAK = 90^\circ \).

Kết luận:
\[ \angle MAK = 90^\circ \]

Hy vọng các bước giải này giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán! Nếu bạn cần giải thích chi tiết hơn hoặc có thêm câu hỏi, hãy cho mình biết nhé! 😊📚✨

Bạn muốn khám phá thêm gì nữa không?