Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán này một cách chi tiết.

### a) Chứng minh tứ giác AECF là hình bình hành

1. **Gọi E và F là trung điểm của AD và BC.**
2. **Để chứng minh tứ giác AECF là hình bình hành, chúng ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau.**

- Vì E và F là trung điểm của AD và BC, ta có:
\[ AE = ED \quad \text{và} \quad BF = FC \]
- Trong hình bình hành, ta có \( AD \parallel BC \) và \( AB \parallel CD \).

3. **Xét các đoạn thẳng:**
- \( AE \parallel FC \) và \( AE = FC \) (Vì \( AE \) và \( FC \) là nửa của các cạnh song song và bằng nhau của hình bình hành).
- \( AF \parallel EC \) và \( AF = EC \) (Vì \( AF \) và \( EC \) là nửa của các cạnh song song và bằng nhau của hình bình hành).

4. **Do đó, tứ giác AECF có hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau, nên AECF là một hình bình hành.**

### b) Chứng minh \( BM = MN = ND \)

1. **Gọi BD cắt AF tại M và CE tại N.**

2. **Trong hình bình hành ABCD, các đường chéo AC và BD cắt nhau tại O và chia đôi nhau.**

3. **Ta có:**
- \( O \) là trung điểm của \( AC \) và \( BD \).
- \( AF \) và \( CE \) là các đoạn thẳng nối các điểm trung điểm của các cạnh, nên chúng cũng chia các đoạn thẳng \( BD \) thành ba phần bằng nhau.

4. **Do đó, \( BM = MN = ND \).**

### c) Chứng minh \( EM \parallel FN \)

1. **Gọi E và F là trung điểm của AD và BC, ta có:**
- \( AF \parallel EC \) (đã chứng minh trong phần a).

2. **Gọi BD cắt AF tại M và CE tại N.**

3. **Trong tam giác \( AEC \), \( M \) và \( N \) là các điểm chia đoạn thẳng AF và CE theo tỉ lệ bằng nhau, vì:**
- \( M \) và \( N \) nằm trên các đoạn thẳng nối các trung điểm và chia các cạnh đối diện thành ba phần bằng nhau.

4. **Do đó, \( EM \parallel FN \).**

### d) Chứng minh DKME là hình bình hành

1. **Gọi tia AN cắt DC tại I, và K là giao điểm của IF và EC.**

2. **Để chứng minh DKME là hình bình hành, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau.**

- **Từ phần a, b, c đã chứng minh, ta có các đoạn thẳng song song và bằng nhau sau:**
\[ EM \parallel FN \parallel DK \]
\[ DK = ME \]
\[ DM = EK \]

3. **Do đó, DKME có hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau, nên DKME là một hình bình hành.**

Nếu bạn có thêm câu hỏi hoặc cần làm rõ phần nào, hãy cho mình biết nhé! 📐😊✨