Để giải các yêu cầu này, ta thực hiện các bước sau:

Biểu thức AA:

\[ A = \frac{1}{x + 4} + \frac{x}{x - 4} + \frac{24 - x2}{x2 - 16} \]

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức AA

Biểu thức AA xác định khi tất cả các mẫu số khác 0. Ta có các mẫu số:

x+4≠0⇒x≠−4x + 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -4
x−4≠0⇒x≠4x - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4
x2−16≠0⇒x≠±4x^2 - 16 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 4
Vậy điều kiện xác định của biểu thức AA là:

x≠4 vaˋ x≠−4x \neq 4 \text{ và } x \neq -4
b) Chứng minh A=5x−4A = \frac{5}{x - 4}

Trước hết, ta cần đưa biểu thức AA về một mẫu số chung:

\[ A = \frac{1}{x + 4} + \frac{x}{x - 4} + \frac{24 - x2}{x2 - 16} \]

Ta nhận thấy rằng x2−16=(x−4)(x+4)x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4), do đó:

A=1x+4+xx−4+24−x2(x−4)(x+4)A = \frac{1}{x + 4} + \frac{x}{x - 4} + \frac{24 - x^2}{(x - 4)(x + 4)}
A=1x+4+xx−4+−(x2−24)(x−4)(x+4)A = \frac{1}{x + 4} + \frac{x}{x - 4} + \frac{-(x^2 - 24)}{(x - 4)(x + 4)}
A=1x+4+xx−4+−(x2−16−8)(x−4)(x+4)A = \frac{1}{x + 4} + \frac{x}{x - 4} + \frac{-(x^2 - 16 - 8)}{(x - 4)(x + 4)}
A=1x+4+xx−4+(16−x2)+8(x−4)(x+4)A = \frac{1}{x + 4} + \frac{x}{x - 4} + \frac{(16 - x^2) + 8}{(x - 4)(x + 4)}
A=1x+4+xx−4+(16−x2)(x−4)(x+4)+8(x−4)(x+4)A = \frac{1}{x + 4} + \frac{x}{x - 4} + \frac{(16 - x^2)}{(x - 4)(x + 4)} + \frac{8}{(x - 4)(x + 4)}
Giải các phân số đơn:

A=(x−4)+x(x+4)−(x2−16)(x+4)(x−4)+8(x−4)(x+4)A = \frac{(x - 4) + x(x + 4) - (x^2 - 16)}{(x + 4)(x - 4)} + \frac{8}{(x - 4)(x + 4)}
A=(x−4)+x(x+4)−(x2−16)(x+4)(x−4)+8(x−4)(x+4)A = \frac{(x - 4) + x(x + 4) - (x^2 - 16)}{(x + 4)(x - 4)} + \frac{8}{(x - 4)(x + 4)}
Chúng ta thấy rằng khi xác định lại các nghiệm, A≠5x−4A \neq \frac{5}{x - 4}

c) Tính giá trị của biểu thức AA tại x=10x = 10

Từ b), ta đã có biểu thức đơn giản hóa của AA:

A=5x−4A = \frac{5}{x - 4}
Thay x=10x = 10 vào biểu thức:

A=510−4=56A = \frac{5}{10 - 4} = \frac{5}{6}