ể tìm cực trị của hàm số ( Z = x^3 + y^3 - 3xy ), chúng ta cần tính đạo hàm riêng theo ( x ) và ( y ), sau đó giải hệ phương trình đạo hàm bằng 0.

Tính đạo hàm riêng:

Đạo hàm riêng theo ( x ): Z; x = 3x^2 - 3y 

Đạo hàm riêng theo ( y ): Z; y = 3y^2 - 3x ]
Giải hệ phương trình: Ta đặt hai đạo hàm riêng bằng 0: [ 3x^2 - 3y = 0  (1) ] [ 3y^2 - 3x = 0  (2) ]

Từ phương trình (1), ta có: [ x^2 = y  (3) ]

Từ phương trình (2), ta có: [ y^2 = x  (4) ]
Thay thế và giải: Thay (3) vào (4): [ (x^2)^2 = x ; x^4 - x = 0 ; x(x^3 - 1) = 0 ] Phương trình này có nghiệm: [ x = 0 hoặc x^3 = 1  x = 1 ]

Từ ( x = 0 ):

Từ (3): ( y = 0^2 = 0 )
Từ ( x = 1 ):

Từ (3): ( y = 1^2 = 1 )
Vậy ta có hai điểm cực trị: [ (0, 0) và (1, 1) ]
Xét tính chất cực trị: Để xác định tính chất của các điểm này, ta cần tính ma trận Hessian.

Tính các đạo hàm bậc hai: [ l^2 Z}{l x^2} = 6x, l^2 Z}{ l y^2} = 6y, { l^2 Z} xy = -3 ]

Ma trận Hessian ( H ) là: [ H =  6x & -3 \ -3 & 6y ]

Tính định thức của Hessian: [(H) = (6x)(6y) - (-3)(-3) = 36xy - 9 ]

Tại điểm ( (0, 0) ): [(H) = 36(0)(0) - 9 = -9{cực trị không xác định}) ]
Tại điểm ( (1, 1) ): [(H) = 36(1)(1) - 9 = 27 > 0 ] [ H_{11} = 6(1) = 6 > 0 {cực trị cực tiểu}) ]
Kết luận:

Điểm ( (0, 0) ) là điểm không xác định.
Điểm ( (1, 1) ) là điểm cực tiểu của hàm số ( Z ).