Cho hình hộp ABCD. A'B'C'D'. Điểm M thuộc AD, N thuộc C'D' sao cho MA/MD = D'N/NC'

a) chứnh minh MN//(BDC')
b) xác định thiết diện của hình họpp khi cắt bởi (P) qua MN và song song (BDC')

Question

VietJack · Accepted Answer

Xem đáp án từ VietJack...

VietJack · Answer

Giả sử hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh song song tương ứng:

AB || A'B'
BC || B'C'
Ta xét các điểm M ∈ AD và N ∈ C'D' thỏa mãn:

MA / MD = D'N / NC'

(a) Chứng minh MN || (BDC')

1. Đặt hệ trục tọa độ:

Chọn hệ tọa độ sao cho:A trùng gốc tọa độ O (0, 0, 0).
B (a, 0, 0), D (0, b, 0), C (a, b, 0).
A' (0, 0, c), B' (a, 0, c), C' (a, b, c), D' (0, b, c).
Khi đó:

Đỉnh A = (0, 0, 0)
Đỉnh D = (0, b, 0) nên cạnh AD nằm dọc trục Oy.
Đỉnh C' = (a, b, c), D' = (0, b, c) nên cạnh C'D' nằm dọc trục Ox tại y = b, z = c.

Xác định tọa độ M và N theo tỉ số cho trước:

Gọi M ∈ AD sao cho MDMA=1−λλ (với một λ nào đó). Trên đoạn AD: A(0, 0, 0), D(0, b, 0), ta có M = (0, λb, 0).
Gọi N ∈ C'D' sao cho NC′D′N=1−λλ. Trên đoạn C'D': D'(0, b, c), C'(a, b, c), ta có N = (λa, b, c).
Như vậy M = (0, λb, 0) và N = (λa, b, c)

3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (BDC'):

Mặt phẳng (BDC') chứa các điểm B(a, 0, 0), D(0, b, 0), C'(a, b, c)

Xét hai vectơ trong mặt phẳng:

BD =D−B=(−a,b,0)

BC′ =C′−B=(0,b,c)

Vectơ pháp tuyến của (BDC') là n =BD ×BC′

Tính BD ×BC′ :

n =(−a,b,0)×(0,b,c)=(b⋅c,a⋅c,−a⋅b)

Vậy n =(bc,ac,−ab)

Kiểm tra tính song song. Vectơ MN =N−M=(λa,b−λb,c)=(λa,b(1−λ),c).
Tính n ⋅MN :

(bc,ac,−ab)⋅(λa,b(1−λ),c)=bc(λa)+ac(b(1−λ))−ab(c)=λabc+abc(1−λ)−abc=λabc+abc−λabc−abc=0.

Kết quả tích vô hướng bằng 0 chứng tỏ MN vuông góc với n . Do n vuông góc với mặt phẳng (BDC'), suy ra MN song song với (BDC'). Từ đó, MN || (BDC').

b/

Xác định các giao tuyến của (P) với các mặt của hình hộp:

(P) cắt (ADD'A'):Qua M kẻ đường thẳng song song với BD, cắt AA' tại P.
Ta có: MP // BD, BD ⊂ (BDC') và (P) // (BDC') => MP ⊂ (P)
Vậy giao tuyến của (P) với (ADD'A') là đường thẳng MP.
(P) cắt (ABB'A'):Qua P kẻ đường thẳng song song với AB, cắt BB' tại Q.
Ta có: PQ // AB, AB ⊂ (ABB'A') và MP ⊂ (P) => PQ ⊂ (P)
Vậy giao tuyến của (P) với (ABB'A') là đường thẳng PQ.
(P) cắt (BCC'B'):Qua N kẻ đường thẳng song song với DC', cắt BB' tại Q.
Ta có: NQ // DC', DC' ⊂ (BDC') và (P) // (BDC') => NQ ⊂ (P)
Vậy giao tuyến của (P) với (BCC'B') là đường thẳng NQ.
(P) cắt (CDD'C'):Ta đã có N là giao điểm của (P) với (CDD'C').
2. Xác định thiết diện:

Nối các giao điểm vừa tìm được ta có thiết diện là tứ giác MPQN.
Vậy thiết diện của hình hộp bởi mặt phẳng (P) qua MN và song song với (BDC') là tứ giác MPQN

VietJack · Answer

difficult

3 câu trả lời 185

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 11