Chúng ta sẽ chứng minh từng phần của bài toán như sau:

---

### **1. Chứng minh \(\triangle ABM = \triangle ACM\)**

\(\triangle ABC\) cân tại \(A\), nên:
- \(AB = AC\), và \(\widehat{BAM} = \widehat{CAM}\) (tính chất cân).
- \(AM\) là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\), do đó:
\[
\frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AC}.
\]

Vì \(AB = AC\), suy ra \(BM = MC\).

Xét hai tam giác \(\triangle ABM\) và \(\triangle ACM\):
- \(AB = AC\) (giả thiết tam giác cân).
- \(AM = AM\) (chung cạnh).
- \(BM = MC\) (vừa chứng minh).

Do đó, theo tiêu chuẩn \(c.g.c\), ta có:
\[
\triangle ABM = \triangle ACM.
\]

---

### **2. Chứng minh \(AT \parallel BC\)**

\(AT\) là tia phân giác của góc ngoài tại \(A\), còn \(AM\) là tia phân giác của góc trong \(\widehat{BAC}\).
Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), các góc \(\widehat{ABC}\) và \(\widehat{ACB}\) bằng nhau.
- Góc ngoài tại \(A\) là \(\widehat{CAT} = 90^\circ - \widehat{ABC}\).
- Góc \(\widehat{BCA}\) trong tam giác cũng bằng \(\widehat{ABC}\).

Vì \(AT\) phân giác góc ngoài và song song với đường thẳng đối diện trong tam giác cân:
\[
AT \parallel BC.
\]

---

### **3. Chứng minh \(AM \perp BC\)**

Trong tam giác cân \(ABC\), đường phân giác \(AM\) đồng thời là đường cao (vì tính chất của tam giác cân).
Do đó:
\[
AM \perp BC.
\]

---

### **4. Chứng minh \(A\) là trung điểm của \(PQ\)**

Trên đường thẳng qua \(M\) vuông góc với \(AB\), lấy điểm \(P\) sao cho \(MP = MQ\). Vì \(MP = MQ\), đoạn \(PQ\) đối xứng qua \(M\).
Ngoài ra:
- \(M\) là trung điểm của \(PQ\) (vì \(MP = MQ\)).
- \(AM\) đi qua \(M\) và vuông góc với \(PQ\).

Do đó, \(A\) là trung điểm của đoạn thẳng \(PQ\).

---

### **Tóm lại**
Chúng ta đã chứng minh được:
1. \(\triangle ABM = \triangle ACM\).
2. \(AT \parallel BC\).
3. \(AM \perp BC\).
4. \(A\) là trung điểm của \(PQ\).

Chúng ta sẽ chứng minh từng phần của bài toán như sau:

---

### **1. Chứng minh \(\triangle ABM = \triangle ACM\)**

\(\triangle ABC\) cân tại \(A\), nên:
- \(AB = AC\), và \(\widehat{BAM} = \widehat{CAM}\) (tính chất cân).
- \(AM\) là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\), do đó:
\[
\frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AC}.
\]

Vì \(AB = AC\), suy ra \(BM = MC\).

Xét hai tam giác \(\triangle ABM\) và \(\triangle ACM\):
- \(AB = AC\) (giả thiết tam giác cân).
- \(AM = AM\) (chung cạnh).
- \(BM = MC\) (vừa chứng minh).

Do đó, theo tiêu chuẩn \(c.g.c\), ta có:
\[
\triangle ABM = \triangle ACM.
\]

---

### **2. Chứng minh \(AT \parallel BC\)**

\(AT\) là tia phân giác của góc ngoài tại \(A\), còn \(AM\) là tia phân giác của góc trong \(\widehat{BAC}\).
Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), các góc \(\widehat{ABC}\) và \(\widehat{ACB}\) bằng nhau.
- Góc ngoài tại \(A\) là \(\widehat{CAT} = 90^\circ - \widehat{ABC}\).
- Góc \(\widehat{BCA}\) trong tam giác cũng bằng \(\widehat{ABC}\).

Vì \(AT\) phân giác góc ngoài và song song với đường thẳng đối diện trong tam giác cân:
\[
AT \parallel BC.
\]

---

### **3. Chứng minh \(AM \perp BC\)**

Trong tam giác cân \(ABC\), đường phân giác \(AM\) đồng thời là đường cao (vì tính chất của tam giác cân).
Do đó:
\[
AM \perp BC.
\]

---

### **4. Chứng minh \(A\) là trung điểm của \(PQ\)**

Trên đường thẳng qua \(M\) vuông góc với \(AB\), lấy điểm \(P\) sao cho \(MP = MQ\). Vì \(MP = MQ\), đoạn \(PQ\) đối xứng qua \(M\).
Ngoài ra:
- \(M\) là trung điểm của \(PQ\) (vì \(MP = MQ\)).
- \(AM\) đi qua \(M\) và vuông góc với \(PQ\).

Do đó, \(A\) là trung điểm của đoạn thẳng \(PQ\).

---

### **Tóm lại**
Chúng ta đã chứng minh được:
1. \(\triangle ABM = \triangle ACM\).
2. \(AT \parallel BC\).
3. \(AM \perp BC\).
4. \(A\) là trung điểm của \(PQ\).

Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và góc B = góc C.
AM là phân giác của góc BAC, suy ra góc BAM = góc CAM.
Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:
AB = AC (do tam giác ABC cân)
góc BAM = góc CAM (AM là phân giác)
AM chung
=> tam giác ABM = tam giác ACM (c.g.c)

AT là phân giác góc ngoài đỉnh A. Góc ngoài tại đỉnh A có số đo bằng 180° - góc A. Gọi góc ngoài tại đỉnh A là góc xAC.
Ta có xAC + góc BAC = 180°
xAC = 180° - góc BAC
Do AM là phân giác trong góc BAC nên góc BAM = góc MAC = góc BAC/2
xAC/2 = (180°-góc BAC)/2 = 90° - góc BAC/2
=> góc PAM = góc MAC - góc MAC/2 = (góc BAC/2) - (180° - góc BAC)/2

Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt AT tại P, đường thẳng qua M vuông góc với AC cắt đường thẳng chứa tia đối của AC tại Q sao cho MQ = MP.
Xét tam giác AMP và tam giác AMQ có:
AM chung
MP = MQ (gt)
góc PMA = góc QMA = 90°
=> tam giác AMP = tam giác AMQ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
=> AP = AQ
Do tam giác AMP = tam giác AMQ, ta có góc PAM = góc QAM.
sxặt khác, AM là phân giác của góc BAC nên góc BAM = góc CAM.
=> góc PAM + góc BAM = góc QAM + góc CAM = 180° - góc BAC = (180° - góc BAC)/2
=> góc BAP + góc CAQ = 180° - góc BAC

Xét tam giác ABP và tam giác ACQ có:
AB = AC (tam giác ABC cân)
AP = AQ (cmt)
góc BAP = góc CAQ (cmt)
=> tam giác ABP = tam giác ACQ (c.g.c)
=> BP = CQ
Do tam giác ABM = tam giác ACM nên góc ABM = góc ACM.
Từ đó, ta có góc ABM = góc ACM = góc ABC/2
Vì tam giác ABM = tam giác ACM, nên BM = CM
=> Tam giác BMC cân tại M.
Ta cũng có góc BAM = góc CAM => góc ABM = góc ACM.
Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại N.
Xét hai tam giác vuông AMN và ANM có:
AM chung
góc MAN = góc MAN (AM là phân giác góc BAC)
=> tam giác AMN cân tại A.
=> AN = AN, MN = MN

Do tam giác ABC cân tại A, AM là phân giác của góc A, nên AM cũng là đường cao và đường trung tuyến.
Suy ra AM vuông góc với BC và M là trung điểm của BC.
Vậy AT // BC.
Do A là trung điểm của PQ, ta có AP = AQ (do tam giác APQ cân).

『Question Math』