### a) Tập nghiệm của bất phương trình \( f(x) \geq 0 \)

Biểu thức đã cho là:

\[
f(x) = 4^x - 2 \cdot 2^{x+1} + 3
\]

Trước tiên, ta sẽ đơn giản hóa biểu thức này.

Biết rằng \( 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} \), ta có:

\[
f(x) = 2^{2x} - 2 \cdot 2^{x+1} + 3
\]

Tiếp theo, ta nhận thấy rằng \( 2^{x+1} = 2 \cdot 2^x \), nên:

\[
f(x) = 2^{2x} - 2 \cdot 2 \cdot 2^x + 3 = 2^{2x} - 4 \cdot 2^x + 3
\]

Ta đặt \( y = 2^x \), do đó \( 2^{2x} = y^2 \), và ta có phương trình sau:

\[
f(x) = y^2 - 4y + 3
\]

Để giải bất phương trình \( f(x) \geq 0 \), ta giải bất phương trình sau:

\[
y^2 - 4y + 3 \geq 0
\]

Ta giải phương trình bậc 2 \( y^2 - 4y + 3 = 0 \) bằng cách sử dụng công thức nghiệm:

\[
y = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(3)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}
\]

Vậy, các nghiệm của phương trình là:

\[
y_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \quad \text{và} \quad y_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1
\]

Phương trình \( y^2 - 4y + 3 \geq 0 \) có các nghiệm \( y = 1 \) và \( y = 3 \), ta phân tích dấu của biểu thức này:

- Với \( y < 1 \) hoặc \( y > 3 \), biểu thức \( y^2 - 4y + 3 \geq 0 \).
- Với \( 1 \leq y \leq 3 \), biểu thức \( y^2 - 4y + 3 \leq 0 \).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \( f(x) \geq 0 \) là \( y \leq 1 \) hoặc \( y \geq 3 \). Thay \( y = 2^x \), ta có:

\[
2^x \leq 1 \quad \text{hoặc} \quad 2^x \geq 3
\]

Với \( 2^x \leq 1 \), ta có \( x \leq 0 \).

Với \( 2^x \geq 3 \), ta có \( x \geq \log_2(3) \).

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình \( f(x) \geq 0 \) là:

\[
x \leq 0 \quad \text{hoặc} \quad x \geq \log_2(3)
\]

### b) Với \( x = a \), f(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \( b \). Giá trị \( a + b \) là gì?

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( f(x) \), ta tìm đạo hàm của \( f(x) \).

Biểu thức đã cho là:

\[
f(x) = 2^{2x} - 4 \cdot 2^x + 3
\]

Đạo hàm của \( f(x) \) theo \( x \) là:

\[
f'(x) = 2^{2x} \cdot \ln(2) \cdot 2 - 4 \cdot 2^x \cdot \ln(2)
\]

\[
f'(x) = 2 \cdot \ln(2) \cdot (2^{2x} - 2^x \cdot 2)
\]

\[
f'(x) = 2 \cdot \ln(2) \cdot (2^{2x} - 2^{x+1})
\]

Để \( f'(x) = 0 \), ta giải phương trình:

\[
2^{2x} - 2^{x+1} = 0
\]

Ta đặt \( y = 2^x \), phương trình trở thành:

\[
y^2 - 2y = 0
\]

\[
y(y - 2) = 0
\]

Vậy, \( y = 0 \) hoặc \( y = 2 \). Vì \( y = 2^x \) và \( 2^x \) không thể bằng 0, nên \( y = 2 \), tức là:

\[
2^x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = 1
\]

Với \( x = 1 \), ta tính giá trị \( f(x) \):

\[
f(1) = 2^{2 \cdot 1} - 4 \cdot 2^1 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1
\]

Vậy, giá trị nhỏ nhất của \( f(x) \) là \( b = -1 \) khi \( x = a = 1 \).

Do đó, \( a + b = 1 + (-1) = 0 \).

### Kết quả:
- a) Tập nghiệm của bất phương trình \( f(x) \geq 0 \) là \( x \leq 0 \) hoặc \( x \geq \log_2(3) \).
- b) Giá trị \( a + b \) là 0.