### **Giải bài toán**

#### **1. Xác định các dữ kiện**
- Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) có:
\[
AB = 3, \quad AC = 4.
\]
- Sử dụng định lý Pythagoras để tính cạnh \( BC \):
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5.
\]

- Trên tia \( BC \) lấy \( D \) sao cho \( CD = 7 \). Khi đó:
\[
BD = BC + CD = 5 + 7 = 12.
\]

- Trên tia \( BA \) lấy \( E \) sao cho \( AE = 5 \). Vì \( AB = 3 \), thì:
\[
BE = AE - AB = 5 - 3 = 2.
\]

#### **2. Tính các cạnh của tam giác \( \triangle BDE \)**
- Cạnh \( DE \):
Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông \( \triangle ADE \) (\( AD \) là đường cao, \( DE \) là cạnh huyền):
- Tính \( AD \) (vì \( AD = AC + CD \)):
\[
AD = AC + CD = 4 + 7 = 11.
\]
- Tính \( DE \):
\[
DE = \sqrt{AD^2 + AE^2} = \sqrt{11^2 + 5^2} = \sqrt{121 + 25} = \sqrt{146}.
\]

- Cạnh \( BE \):
Đã tính ở trên, \( BE = 2 \).

#### **3. Tính các góc của tam giác \( \triangle BDE \)**
- Tính góc \( \angle BDE \) bằng định lý cos trong tam giác \( \triangle BDE \):
\[
\cos \angle BDE = \frac{BD^2 + DE^2 - BE^2}{2 \cdot BD \cdot DE}.
\]
Thay số:
\[
\cos \angle BDE = \frac{12^2 + (\sqrt{146})^2 - 2^2}{2 \cdot 12 \cdot \sqrt{146}} = \frac{144 + 146 - 4}{2 \cdot 12 \cdot \sqrt{146}} = \frac{286}{24 \sqrt{146}}.
\]

- Các góc còn lại có thể tính bằng định lý tổng góc trong tam giác và các hệ thức lượng.

---

Kết luận: Các cạnh và góc của tam giác \( \triangle BDE \) được tính theo các bước trên. Nếu cần thêm chi tiết hoặc tính toán tiếp, vui lòng yêu cầu.

Để tính các cạnh và góc của tam giác BDEBDEBDE, ta sẽ sử dụng các thông tin đã cho và các công cụ hình học để giải bài toán.

Bước 1: Xác định các cạnh của tam giác ABC
Tam giác ABCABCABC vuông tại AAA, với AB=3AB = 3AB=3, AC=4AC = 4AC=4, nên ta có thể tính cạnh BCBCBC bằng định lý Pythagoras:
BC=AB2+AC2=32+42=9+16=25=5BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5BC=AB2+AC2​=32+42​=9+16​=25​=5Bước 2: Xác định tọa độ các điểm
Để dễ dàng tính toán, ta đặt tọa độ các điểm trong hệ tọa độ Oxy:

A=(0,0)A = (0, 0)A=(0,0) (vì tam giác vuông tại AAA),
B=(3,0)B = (3, 0)B=(3,0) (vì AB=3AB = 3AB=3),
C=(0,4)C = (0, 4)C=(0,4) (vì AC=4AC = 4AC=4).
Điểm D: Điểm DDD nằm trên tia BCBCBC sao cho CD=7CD = 7CD=7. Vì C=(0,4)C = (0, 4)C=(0,4) và B=(3,0)B = (3, 0)B=(3,0), ta có vector BC→=(3−0,0−4)=(3,−4)\overrightarrow{BC} = (3 - 0, 0 - 4) = (3, -4)BC=(3−0,0−4)=(3,−4). Vì điểm DDD nằm trên tia BCBCBC, ta tính tọa độ của DDD bằng cách kéo dài đoạn thẳng BCBCBC sao cho chiều dài từ CCC đến DDD là 7 đơn vị. Ta sử dụng công thức cộng vector để tìm tọa độ DDD:

D=C+t⋅BC→=(0,4)+t⋅(3,−4)D = C + t \cdot \overrightarrow{BC} = (0, 4) + t \cdot (3, -4)D=C+t⋅BC=(0,4)+t⋅(3,−4)Với ttt là tỉ lệ kéo dài đoạn BCBCBC sao cho CD=7CD = 7CD=7. Do độ dài vector BCBCBC là 5, ta có:

t=CDBC=75t = \frac{CD}{BC} = \frac{7}{5}t=BCCD​=57​Vậy tọa độ của DDD là:

D=(0,4)+75⋅(3,−4)=(0+215,4−285)=(215,205−285)=(215,−85)D = (0, 4) + \frac{7}{5} \cdot (3, -4) = (0 + \frac{21}{5}, 4 - \frac{28}{5}) = \left(\frac{21}{5}, \frac{20}{5} - \frac{28}{5}\right) = \left(\frac{21}{5}, \frac{-8}{5}\right)D=(0,4)+57​⋅(3,−4)=(0+521​,4−528​)=(521​,520​−528​)=(521​,5−8​)Điểm E: Điểm EEE nằm trên tia BABABA sao cho AE=5AE = 5AE=5. Vì A=(0,0)A = (0, 0)A=(0,0) và B=(3,0)B = (3, 0)B=(3,0), đoạn thẳng BABABA nằm trên trục hoành. Do đó, tọa độ của EEE sẽ là E=(5,0)E = (5, 0)E=(5,0), vì AE=5AE = 5AE=5.

Bước 3: Tính các cạnh của tam giác BDE
Bây giờ ta có tọa độ của các điểm B=(3,0)B = (3, 0)B=(3,0), D=(215,−85)D = \left(\frac{21}{5}, \frac{-8}{5}\right)D=(521​,5−8​), và E=(5,0)E = (5, 0)E=(5,0). Ta sẽ tính các cạnh của tam giác BDEBDEBDE bằng cách áp dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm (x1,y1)(x_1, y_1)(x1​,y1​) và (x2,y2)(x_2, y_2)(x2​,y2​):

Khoảng caˊch=(x2−x1)2+(y2−y1)2\text{Khoảng cách} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}Khoảng caˊch=(x2​−x1​)2+(y2​−y1​)2​1. Cạnh BDBDBD
Tọa độ của B=(3,0)B = (3, 0)B=(3,0) và D=(215,−85)D = \left(\frac{21}{5}, \frac{-8}{5}\right)D=(521​,5−8​), ta có:

BD=(3−215)2+(0−−85)2BD = \sqrt{\left(3 - \frac{21}{5}\right)^2 + \left(0 - \frac{-8}{5}\right)^2}BD=(3−521​)2+(0−5−8​)2​Tính toán:

BD=(155−215)2+(85)2=(−65)2+(85)2BD = \sqrt{\left(\frac{15}{5} - \frac{21}{5}\right)^2 + \left(\frac{8}{5}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{-6}{5}\right)^2 + \left(\frac{8}{5}\right)^2}BD=(515​−521​)2+(58​)2​=(5−6​)2+(58​)2​ BD=3625+6425=10025=4=2BD = \sqrt{\frac{36}{25} + \frac{64}{25}} = \sqrt{\frac{100}{25}} = \sqrt{4} = 2BD=2536​+2564​​=25100​​=4​=2Vậy BD=2BD = 2BD=2.

2. Cạnh BEBEBE
Tọa độ của B=(3,0)B = (3, 0)B=(3,0) và E=(5,0)E = (5, 0)E=(5,0), ta có:

BE=(5−3)2+(0−0)2=22=2BE = \sqrt{(5 - 3)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{2^2} = 2BE=(5−3)2+(0−0)2​=22​=2Vậy BE=2BE = 2BE=2.

3. Cạnh DEDEDE
Tọa độ của D=(215,−85)D = \left(\frac{21}{5}, \frac{-8}{5}\right)D=(521​,5−8​) và E=(5,0)E = (5, 0)E=(5,0), ta có:

DE=(5−215)2+(0−−85)2DE = \sqrt{\left(5 - \frac{21}{5}\right)^2 + \left(0 - \frac{-8}{5}\right)^2}DE=(5−521​)2+(0−5−8​)2​Tính toán:

DE=(255−215)2+(85)2=(45)2+(85)2DE = \sqrt{\left(\frac{25}{5} - \frac{21}{5}\right)^2 + \left(\frac{8}{5}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{4}{5}\right)^2 + \left(\frac{8}{5}\right)^2}DE=(525​−521​)2+(58​)2​=(54​)2+(58​)2​ DE=1625+6425=8025=165≈1.79DE = \sqrt{\frac{16}{25} + \frac{64}{25}} = \sqrt{\frac{80}{25}} = \sqrt{\frac{16}{5}} \approx 1.79DE=2516​+2564​​=2580​​=516​​≈1.79Vậy DE≈1.79DE \approx 1.79DE≈1.79.

Bước 4: Tính các góc của tam giác BDE
Để tính các góc của tam giác BDEBDEBDE, ta có thể sử dụng định lý Cosin. Cụ thể, ta sẽ tính các góc ∠BDE\angle BDE∠BDE, ∠DBE\angle DBE∠DBE, và ∠BED\angle BED∠BED.

Góc ∠BDE\angle BDE∠BDE
Sử dụng định lý Cosin:

cos⁡(∠BDE)=BD2+DE2−BE22⋅BD⋅DE\cos(\angle BDE) = \frac{BD^2 + DE^2 - BE^2}{2 \cdot BD \cdot DE}cos(∠BDE)=2⋅BD⋅DEBD2+DE2−BE2​Thay vào các giá trị:

cos⁡(∠BDE)=22+1.792−222⋅2⋅1.79\cos(\angle BDE) = \frac{2^2 + 1.79^2 - 2^2}{2 \cdot 2 \cdot 1.79}cos(∠BDE)=2⋅2⋅1.7922+1.792−22​ cos⁡(∠BDE)=4+3.2041−42⋅2⋅1.79=3.20417.16≈0.447\cos(\angle BDE) = \frac{4 + 3.2041 - 4}{2 \cdot 2 \cdot 1.79} = \frac{3.2041}{7.16} \approx 0.447cos(∠BDE)=2⋅2⋅1.794+3.2041−4​=7.163.2041​≈0.447Do đó:

∠BDE≈cos⁡−1(0.447)≈63.43∘\angle BDE \approx \cos^{-1}(0.447) \approx 63.43^\circ∠BDE≈cos−1(0.447)≈63.43∘Góc ∠DBE\angle DBE∠DBE
Vì tổng các góc trong tam giác là 180°, ta có:

∠DBE=180∘−90∘−63.43∘=26.57∘\angle DBE = 180^\circ - 90^\circ - 63.43^\circ = 26.57^\circ∠DBE=180∘−90∘−63.43∘=26.57∘Góc ∠BED\angle BED∠BED
Vì ∠DBE+∠BDE+∠BED=180∘\angle DBE + \angle BDE + \angle BED = 180^\circ∠DBE+∠BDE+∠BED=180∘, ta có:

∠BED=180∘−63.43∘−26.57∘=90∘\angle BED = 180^\circ - 63.43^\circ - 26.57^\circ = 90^\circ∠BED=180∘−63.43∘−26.57∘=90∘Kết luận:
Các cạnh của tam giác BDEBDEBDE là:BD=2BD = 2BD=2,
BE=2BE = 2BE=2,
DE≈1.79DE \approx 1.79DE≈1.79.
Các góc của tam giác BDEBDEBDE là:∠BDE≈63.43∘ \angle BDE \approx 63.43^\circ∠BDE≈63.43∘,
∠DBE≈26.57∘ \angle DBE \approx 26.57^\circ∠DBE≈26.57∘,
∠BED=90∘ \angle BED = 90^\circ∠BED=90∘.