### **Giải bài toán:**

**Cho \(\triangle ABC\) vuông tại \(A\). Gọi \(D\) là trung điểm của \(BC\). Vẽ \(DE \perp AB\) (\(E \in AB\)), \(DF \perp AC\) (\(F \in AC\)).**

---

### **a) Chứng minh tứ giác \(AEDF\) là hình chữ nhật:**

#### **Chứng minh:**
1. \(DE \perp AB\) (giả thiết), nên \(DE \parallel AF\).
2. \(DF \perp AC\) (giả thiết), nên \(DF \parallel AE\).
3. Hai cặp cạnh đối song song (\(DE \parallel AF\), \(DF \parallel AE\)) và các góc tại \(E\) và \(F\) đều là góc vuông.

**Kết luận:**
Tứ giác \(AEDF\) là **hình chữ nhật** vì có các cặp cạnh đối song song và các góc bằng \(90^\circ\).

---

### **b) Gọi \(M\) là điểm đối xứng của \(D\) qua \(E\), chứng minh:**

#### **1. Tứ giác \(AMDC\) là hình bình hành:**

1. **Tính chất đối xứng:**
- \(M\) đối xứng với \(D\) qua \(E\) nên \(E\) là trung điểm của đoạn \(DM\).
- Do \(D\) là trung điểm của \(BC\), \(AD \parallel MC\) và \(AD = MC\).

2. **Tính chất song song và bằng nhau:**
- \(AM \parallel DC\) (vì \(M\) đối xứng \(D\), \(AD\) và \(MC\) song song).
- \(AM = DC\).

**Kết luận:**
Tứ giác \(AMDC\) là **hình bình hành**.

---

#### **2. Tứ giác \(AMBD\) là hình thoi:**

1. **Tính chất đối xứng:**
- \(M\) đối xứng \(D\) qua \(E\), nên \(E\) là trung điểm của \(DM\).
- Từ hình bình hành \(AMDC\), \(AM = MD\).

2. **Hai đường chéo vuông góc:**
- Trong \(\triangle ABE\), \(DE \perp AB\).
- \(AD \perp BC\), nên hai đường chéo của \(AMBD\) vuông góc.

**Kết luận:**
Tứ giác \(AMBD\) là **hình thoi**.

---

### **c) Gọi \(N\) là điểm đối xứng của \(D\) qua \(F\), chứng minh \(A\) là trung điểm của \(MN\):**

1. **Tính chất đối xứng:**
- \(N\) đối xứng với \(D\) qua \(F\), nên \(F\) là trung điểm của đoạn \(DN\).

2. **Vị trí trung điểm:**
- Từ đối xứng của \(M\) và \(N\), điểm \(A\) là trung điểm của \(MN\) do hình chữ nhật \(AEDF\) đối xứng qua đường chéo \(AD\).

**Kết luận:**
\(A\) là trung điểm của đoạn \(MN\).

---

### **d) Chứng minh ba đường \(AD\), \(MC\), \(EF\) đồng quy:**

1. **Tính chất của đường cao và trung điểm:**
- \(D\) là trung điểm của \(BC\), \(E\) là trung điểm của \(DM\), và \(F\) là trung điểm của \(DN\).

2. **Tính chất của các đường đồng quy:**
- Trong hình bình hành \(AMDC\), đường \(MC\) (đường chéo), đường \(EF\) (trung bình hình chữ nhật \(AEDF\)), và \(AD\) (đường cao của \(\triangle ABC\)) đồng quy tại \(D\).

**Kết luận:**
Ba đường \(AD\), \(MC\), \(EF\) đồng quy tại \(D\).

---

### **Tóm lại:**
- Tứ giác \(AEDF\) là hình chữ nhật.
- Tứ giác \(AMDC\) là hình bình hành.
- Tứ giác \(AMBD\) là hình thoi.
- \(A\) là trung điểm của \(MN\).
- Ba đường \(AD\), \(MC\), \(EF\) đồng quy.