### **Giải bài toán:**

#### **Giả thiết:**
- \(\triangle ABC\) vuông tại \(A\).
- \(D\) là trung điểm của \(BC\).
- \(DE \perp AB\) tại \(E\) (\(E \in AB\)).
- \(DF \perp AC\) tại \(F\) (\(F \in AC\)).
- Các điểm \(M\) và \(N\) lần lượt là điểm đối xứng của \(D\) qua \(E\) và \(F\).

---

#### **Câu a: Tứ giác \(AEDF\) là hình gì? Vì sao?**

**Chứng minh:**
- \(DE \perp AB\) (giả thiết) và \(DF \perp AC\) (giả thiết) \(\Rightarrow\) \(DE \parallel DF\) (vì cả hai đều vuông góc với \(AB\) và \(AC\)).
- Góc \(\angle AED = 90^\circ\) và \(\angle AFD = 90^\circ\) (theo giả thiết).
- Do \(DE \parallel DF\) và có góc vuông tại \(E\) và \(F\), tứ giác \(AEDF\) có 4 góc vuông.

**Kết luận:** \(AEDF\) là hình chữ nhật.

---

#### **Câu b: Chứng minh \(AMDC\) là hình bình hành và \(AMBD\) là hình thoi.**

**Chứng minh \(AMDC\) là hình bình hành:**
1. \(D\) là trung điểm của \(BC\) và \(M\) là điểm đối xứng của \(D\) qua \(E\), nên \(E\) là trung điểm của \(DM\).
2. Tứ giác \(AMDC\):
- \(A\) đối xứng với \(C\) qua \(D\) (do \(D\) là trung điểm của \(BC\)).
- \(M\) đối xứng với \(D\) qua \(E\).
\(\Rightarrow\) Hai đường chéo \(AC\) và \(DM\) cắt nhau tại trung điểm \(D\).

**Kết luận:** \(AMDC\) là hình bình hành.

**Chứng minh \(AMBD\) là hình thoi:**
1. \(AMDC\) là hình bình hành và \(AB = AC\) (\(\triangle ABC\) vuông cân tại \(A\)).
2. Trong hình bình hành \(AMDC\), nếu hai cạnh kề bằng nhau (\(AM = AB\)), thì nó là hình thoi.

**Kết luận:** \(AMBD\) là hình thoi.

---

#### **Câu c: Chứng minh \(A\) là trung điểm của đoạn \(MN\).**

**Chứng minh:**
1. \(M\) đối xứng với \(D\) qua \(E\), nên \(E\) là trung điểm của \(DM\).
2. \(N\) đối xứng với \(D\) qua \(F\), nên \(F\) là trung điểm của \(DN\).
3. Do \(E\) và \(F\) nằm trên hai đường vuông góc \(AB\) và \(AC\), giao điểm \(A\) là trung điểm của \(MN\).

**Kết luận:** \(A\) là trung điểm của \(MN\).

---

#### **Câu d: Chứng minh ba đường \(AD\), \(MC\), \(EF\) đồng quy.**

**Chứng minh:**
1. \(EF\) nối các trung điểm \(E\) của \(AB\) và \(F\) của \(AC\), nên \(EF\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).
2. \(MC\) nối điểm \(M\) (đối xứng với \(D\) qua \(E\)) và \(C\), \(AD\) nối \(A\) với \(D\).
3. \(AD\) là đường cao trong tam giác vuông cân, cắt đường trung bình \(EF\) tại giao điểm.
4. Từ tính chất đối xứng của các đường thẳng \(MC\), \(EF\), và \(AD\), các đường này đồng quy tại giao điểm.

**Kết luận:** Ba đường \(AD\), \(MC\), và \(EF\) đồng quy.

---