### A) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật

Để chứng minh tứ giác \( ADHE \) là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng tất cả các góc của tứ giác này đều là góc vuông.

1. **Tam giác vuông tại A:** Tam giác \( ABC \) vuông tại A, nghĩa là \( \angle A = 90^\circ \).
2. **Hình vẽ:** Đặt \( H \) là chân đường cao của tam giác vuông \( ABC \), tức là \( AH \) vuông góc với \( BC \).
3. **Điểm D và E:** \( D \) là điểm trên \( AB \), sao cho \( AH \perp AB \). \( E \) là điểm trên \( AC \), sao cho \( AH \perp AC \).

Từ đó, ta có:
- \( AH \perp AB \) (theo giả thiết).
- \( AH \perp AC \) (theo giả thiết).
- \( AD \parallel HE \) và \( DE \parallel AH \) (vì \( AH \perp AB \) và \( AH \perp AC \)).

Do đó, tứ giác \( ADHE \) có các cặp cạnh vuông góc đối diện. Khi đó, \( ADHE \) là hình chữ nhật.

---

### B) Chứng minh tứ giác ABKF là hình thoi

Để chứng minh tứ giác \( ABKF \) là hình thoi, ta cần chứng minh tất cả bốn cạnh của tứ giác này đều có độ dài bằng nhau.

1. **Điểm đối xứng F:** Điểm \( F \) là điểm đối xứng của điểm \( B \) qua \( H \), nên \( HF = HB \).
2. **Điểm đối xứng K:** Điểm \( K \) là điểm đối xứng của điểm \( A \) qua \( H \), nên \( HK = HA \).

Do đó, ta có:
- \( AB = BF \) (vì \( B \) và \( F \) đối xứng qua \( H \)).
- \( AK = KF \) (vì \( A \) và \( K \) đối xứng qua \( H \)).
- \( AB = AK \) (do \( AB = AK \) trong tam giác vuông).
- \( BF = KF \).

Vậy, tất cả bốn cạnh của tứ giác \( ABKF \) đều bằng nhau, nên tứ giác \( ABKF \) là hình thoi.

---

### C) Chứng minh \( AF \) vuông góc với \( CK \)

Để chứng minh \( AF \perp CK \), ta sẽ sử dụng định lý về hai đường vuông góc.

1. **Điểm đối xứng:** Như đã nói ở trên, \( F \) là điểm đối xứng của \( B \) qua \( H \) và \( K \) là điểm đối xứng của \( A \) qua \( H \).
2. **Sự đối xứng:** Do các điểm \( A \), \( B \), \( F \), \( K \) đều có quan hệ đối xứng qua \( H \), ta có thể kết luận rằng các đường nối các điểm đối xứng qua \( H \) sẽ vuông góc với nhau.

Vì vậy, \( AF \perp CK \).

---

### Hình vẽ

Vì không thể tạo hình vẽ trực tiếp ở đây, bạn có thể vẽ sơ đồ với các điểm và các mối quan hệ như sau:

- Vẽ tam giác vuông \( ABC \) với \( \angle A = 90^\circ \).
- Vẽ đường cao \( AH \) từ \( A \) vuông góc với cạnh \( BC \).
- Đánh dấu các điểm \( D \) trên \( AB \), \( E \) trên \( AC \), sao cho \( AH \perp AB \) và \( AH \perp AC \).
- Sau đó vẽ các điểm \( F \) và \( K \) là đối xứng của \( B \) và \( A \) qua \( H \).

Hình vẽ sẽ giúp bạn dễ dàng nhìn thấy các mối quan hệ vuông góc và đối xứng giữa các điểm.