Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích các khả năng khác nhau mà người đàn ông có thể lựa chọn để đến điểm B trên bờ đối diện của con sông, đồng thời tối ưu hóa thời gian di chuyển.

Giả sử:
Bờ sông là một đường thẳng và chiều rộng của sông là 3 km.
Người đàn ông có thể chèo thuyền trực tiếp từ A đến B hoặc có thể chèo đến một điểm C trên bờ đối diện rồi chạy đến B, hoặc chèo đến một điểm D giữa C và B rồi chạy đến B.
Tốc độ chèo thuyền của người đàn ông là vcheˋov_{\text{chèo}} km/h và tốc độ chạy là vchạyv_{\text{chạy}} km/h.
Tốc độ dòng nước không đáng kể (tức là không có dòng chảy của sông, hoặc dòng chảy rất yếu).
Các lựa chọn di chuyển:
1. Chèo trực tiếp từ A đến B:
Khoảng cách giữa A và B là 3 km.
Thời gian chèo thuyền trực tiếp từ A đến B là: TA→B=3vcheˋoT_{\text{A→B}} = \frac{3}{v_{\text{chèo}}}
2. Chèo từ A đến một điểm C trên bờ đối diện rồi chạy đến B:
Điểm C nằm ở một vị trí bất kỳ trên bờ đối diện, cách B một khoảng xx km.
Thời gian chèo thuyền từ A đến C (với khoảng cách là 3 km): TA→C=32+x2vcheˋoT_{\text{A→C}} = \frac{\sqrt{3^2 + x^2}}{v_{\text{chèo}}} (Lý do là quãng đường chèo thuyền từ A đến C chính là cạnh huyền của tam giác vuông với chiều rộng sông là 3 km và khoảng cách từ C đến B là xx km.)
Thời gian chạy từ C đến B (khoảng cách là 3−x3 - x km): TC→B=3−xvchạyT_{\text{C→B}} = \frac{3 - x}{v_{\text{chạy}}}
Tổng thời gian cho lộ trình này là: TA→C→B=9+x2vcheˋo+3−xvchạyT_{\text{A→C→B}} = \frac{\sqrt{9 + x^2}}{v_{\text{chèo}}} + \frac{3 - x}{v_{\text{chạy}}}
3. Chèo từ A đến một điểm D giữa C và B rồi chạy đến B:
Điểm D nằm ở vị trí giữa C và B, với khoảng cách từ D đến B là yy km (với 0≤y≤30 \leq y \leq 3).
Thời gian chèo thuyền từ A đến D là: TA→D=9+y2vcheˋoT_{\text{A→D}} = \frac{\sqrt{9 + y^2}}{v_{\text{chèo}}}
Thời gian chạy từ D đến B là: TD→B=3−yvchạyT_{\text{D→B}} = \frac{3 - y}{v_{\text{chạy}}}
Tổng thời gian cho lộ trình này là: TA→D→B=9+y2vcheˋo+3−yvchạyT_{\text{A→D→B}} = \frac{\sqrt{9 + y^2}}{v_{\text{chèo}}} + \frac{3 - y}{v_{\text{chạy}}}
Tìm thời gian tối ưu:
Để tối ưu hóa thời gian, chúng ta sẽ phân tích các lộ trình này và so sánh chúng.

Trường hợp 1: Chèo trực tiếp từ A đến B
Thời gian chèo trực tiếp từ A đến B là:

TA→B=3vcheˋoT_{\text{A→B}} = \frac{3}{v_{\text{chèo}}}Trường hợp 2: Chèo từ A đến C rồi chạy đến B
Tổng thời gian:

TA→C→B=9+x2vcheˋo+3−xvchạyT_{\text{A→C→B}} = \frac{\sqrt{9 + x^2}}{v_{\text{chèo}}} + \frac{3 - x}{v_{\text{chạy}}}Để tìm điểm tối ưu xx, bạn cần đạo hàm và giải phương trình đạo hàm bằng 0. Tuy nhiên, nếu tốc độ chèo thuyền lớn hơn nhiều so với tốc độ chạy, ta sẽ thấy rằng chèo trực tiếp từ A đến B sẽ tối ưu hơn.

Trường hợp 3: Chèo từ A đến D rồi chạy đến B
Tổng thời gian:

TA→D→B=9+y2vcheˋo+3−yvchạyT_{\text{A→D→B}} = \frac{\sqrt{9 + y^2}}{v_{\text{chèo}}} + \frac{3 - y}{v_{\text{chạy}}}Lại giống như trường hợp trên, bạn cần đạo hàm và tối ưu hóa giá trị yy. Tuy nhiên, nếu tốc độ chèo lớn hơn rất nhiều so với tốc độ chạy, việc chèo trực tiếp từ A đến B vẫn có thể là tối ưu.

Giải bài toán theo giả định về tốc độ:
Giả sử tốc độ chèo thuyền là vcheˋo=6 km/hv_{\text{chèo}} = 6 \text{ km/h} và tốc độ chạy là vchạy=3 km/hv_{\text{chạy}} = 3 \text{ km/h}.

Chèo trực tiếp từ A đến B:

TA→B=36=0.5 giờT_{\text{A→B}} = \frac{3}{6} = 0.5 \text{ giờ}
Chèo đến C rồi chạy đến B: Ta sẽ tìm thời gian tối ưu khi chèo đến C (giải phương trình đạo hàm). Tuy nhiên, giả sử chúng ta thử với x=1.5x = 1.5 km (nửa quãng đường từ C đến B):

TA→C→B=9+1.526+3−1.53=9+2.256+1.53T_{\text{A→C→B}} = \frac{\sqrt{9 + 1.5^2}}{6} + \frac{3 - 1.5}{3} = \frac{\sqrt{9 + 2.25}}{6} + \frac{1.5}{3} TA→C→B=11.256+0.5=3.3546+0.5≈0.559+0.5=1.059 giờT_{\text{A→C→B}} = \frac{\sqrt{11.25}}{6} + 0.5 = \frac{3.354}{6} + 0.5 \approx 0.559 + 0.5 = 1.059 \text{ giờ}
Kết luận:
Với tốc độ chèo thuyền nhanh hơn tốc độ chạy (6 km/h so với 3 km/h), việc chèo thuyền trực tiếp từ A đến B là tối ưu. Thời gian nhanh nhất để người đàn ông đến điểm B là 0.5 giờ.