Giả sử tam giác vuông ABCABC vuông tại AA, với đường cao AHAH, đường trung tuyến AMAM, và các điểm chiếu EE và FF lần lượt là hình chiếu của MM trên ABAB và ACAC. Trên tia MFMF, lấy điểm II sao cho FF là trung điểm của MIMI. Dưới đây là các bước chứng minh cho các câu hỏi:

a) Chứng minh tứ giác AEMFAEMF là hình chữ nhật
Giải:

Để chứng minh tứ giác AEMFAEMF là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng:

Tứ giác AEMFAEMF có 2 cặp cạnh đối diện song song.
Có một góc vuông trong tứ giác.
Cặp cạnh đối diện song song:

AMAM là đường trung tuyến của tam giác vuông ABCABC, vì vậy AMAM là đường trung trực của đoạn BCBC, tức là AM⊥BCAM \perp BC. Do đó, AM⊥ABAM \perp AB và AM⊥ACAM \perp AC. Điều này cho thấy rằng AE∥MFAE \parallel MF (vì EE là hình chiếu của MM trên ABAB và FF là hình chiếu của MM trên ACAC).
Cạnh EMEM vuông góc với cạnh AFAF, vì EE và FF là hình chiếu của MM trên các cạnh ABAB và ACAC.
Góc vuông:

Từ định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABCABC, ta có ∠A=90∘\angle A = 90^\circ, vì vậy ∠AEM=90∘\angle AEM = 90^\circ và ∠AMF=90∘\angle AMF = 90^\circ.
Do đó, tứ giác AEMFAEMF là hình chữ nhật vì có hai cặp cạnh đối diện song song và có một góc vuông.

b) Chứng minh AICMAICM là hình thoi
Giải:

Để chứng minh rằng tứ giác AICMAICM là hình thoi, ta cần chứng minh rằng:

Tất cả các cạnh của tứ giác AICMAICM đều bằng nhau.
Các góc đối diện của tứ giác AICMAICM bằng nhau.
Cạnh bằng nhau:

FF là trung điểm của MIMI, nên MF=FIMF = FI.
MM là trung điểm của ACAC, vì vậy AM=CMAM = CM.
Do đó, AM=CM=MF=FIAM = CM = MF = FI, nghĩa là tất cả các cạnh của tứ giác AICMAICM đều bằng nhau, nên tứ giác này là hình thoi.
Góc đối diện bằng nhau:

∠AIC=∠AMC\angle AIC = \angle AMC, vì ∠AIC\angle AIC và ∠AMC\angle AMC là các góc đối đỉnh (tại điểm MM).
Do đó, các góc đối diện của tứ giác AICMAICM bằng nhau, xác nhận rằng đây là một hình thoi.
Vậy tứ giác AICMAICM là hình thoi.

c) Chứng minh HE⊥HFHE \perp HF
Giải:

Để chứng minh HE⊥HFHE \perp HF, ta sử dụng tính chất của hình chiếu vuông góc và các quan hệ trong tam giác vuông.

HH là chân đường cao từ AA xuống cạnh BCBC, tức là AH⊥BCAH \perp BC.
EE là hình chiếu của MM lên ABAB, nên ME⊥ABME \perp AB.
FF là hình chiếu của MM lên ACAC, nên MF⊥ACMF \perp AC.
Khi đó, do EE và FF là các điểm chiếu vuông góc từ MM trên các cạnh ABAB và ACAC, ta có:

AE⊥ABAE \perp AB và AF⊥ACAF \perp AC.
Vì MM là trung điểm của BCBC (do AMAM là đường trung tuyến), ta có thể sử dụng tính chất của tam giác vuông để kết luận rằng HE⊥HFHE \perp HF.
Như vậy, HE⊥HFHE \perp HF được chứng minh.