Để giải bài toán này, chúng ta có hai phần cần thực hiện theo yêu cầu:

 Phần a: tính MN × AB

1. Tìm tọa độ các điểm của tam giác đều ABC:

   - Giả sử A(0, 0), B(12, 0), C(6, 6√3) để hợp với cạnh = 12.

2. Tính vector AM và CM:

   - Điểm M là điểm thỏa mãn \( \vec{AM} + 2\vec{CM} = \vec{0} \).

   - Từ phương trình này, ta có:

     \[

     \vec{AM} = -2\vec{CM} \implies \vec{AM} = -2(\vec{M} - \vec{C}) \implies \vec{M} - \vec{A} = -2(\vec{M} - \vec{C}).

     \]

   - Kí hiệu tọa độ của M là (x, y):

     \[

     (x, y) - (0, 0) = -2((x, y) - (6, 6\sqrt{3})).

     \]

   - Từ đây giải ra hệ phương trình để tìm tọa độ M.

3. Tính chỉ số VN của vector AB:

   - \(\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (12 - 0, 0 - 0) = (12, 0)\).

4. Tính độ dài AB:

   - Độ dài \(AB = 12\).

5. Tính MN:

   - Để tìm điểm N ta cần biểu diễn vector BC.

   - Với vecto BC = 4BN, ta có N nằm trên trên BC.

   - Từ đó có thể tính toán được.

 Phần b: tìm x để AN vuông góc CP

1. Điểm P trên AB:

   - Gọi P là điểm chia AB theo tỉ lệ x, có tọa độ:

     \[

     P\left(x, 0\right).

     \]

2. Tính AN và CP:

   - \(\vec{AN} = (x - 0, 0 - 0) = (x, 0)\).

   - \(\vec{CP} = P - C = (x - 6, 0 - 6\sqrt{3})\).

3. Điều kiện vuông góc:

   - Hai vector lùi nhau vuông góc khi tích vô hướng bằng 0:

     \[

     \vec{AN} \cdot \vec{CP} = 0.

     \]

   - Từ đây, ta có thể tính được x từ điều kiện