Để chứng minh AM→+BN→+CK→=0→\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BN} + \overrightarrow{CK} = \overrightarrow{0} trong tam giác ABCABC, với MM, NN, và KK lần lượt là trung điểm của các cạnh BCBC, CACA, và ABAB, ta sẽ sử dụng tính chất của các vectơ trong không gian Euclid và cách biểu diễn tọa độ của các điểm trong tam giác.

Giả thiết:
Tam giác ABCABC có ba đường trung tuyến: AMAM, BNBN, và CKCK, với các điểm MM, NN, và KK lần lượt là trung điểm của các cạnh BCBC, CACA, và ABAB.
Mục tiêu: Chứng minh rằng:
AM→+BN→+CK→=0→\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BN} + \overrightarrow{CK} = \overrightarrow{0}Giải:
Tọa độ các điểm:

Giả sử A(x1,y1)A(x_1, y_1), B(x2,y2)B(x_2, y_2), C(x3,y3)C(x_3, y_3) là tọa độ của các đỉnh tam giác AA, BB, và CC.
MM, NN, và KK lần lượt là trung điểm của các cạnh BCBC, CACA, và ABAB, nên tọa độ của các điểm này là:M=(x2+x32,y2+y32)M = \left( \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2} \right)
N=(x1+x32,y1+y32)N = \left( \frac{x_1 + x_3}{2}, \frac{y_1 + y_3}{2} \right)
K=(x1+x22,y1+y22)K = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)
Tính các vectơ:

Vectơ AM→\overrightarrow{AM} có tọa độ là: AM→=(x2+x32−x1,y2+y32−y1)=(x2+x3−2x12,y2+y3−2y12)\overrightarrow{AM} = \left( \frac{x_2 + x_3}{2} - x_1, \frac{y_2 + y_3}{2} - y_1 \right) = \left( \frac{x_2 + x_3 - 2x_1}{2}, \frac{y_2 + y_3 - 2y_1}{2} \right)
Vectơ BN→\overrightarrow{BN} có tọa độ là: BN→=(x1+x32−x2,y1+y32−y2)=(x1+x3−2x22,y1+y3−2y22)\overrightarrow{BN} = \left( \frac{x_1 + x_3}{2} - x_2, \frac{y_1 + y_3}{2} - y_2 \right) = \left( \frac{x_1 + x_3 - 2x_2}{2}, \frac{y_1 + y_3 - 2y_2}{2} \right)
Vectơ CK→\overrightarrow{CK} có tọa độ là: CK→=(x1+x22−x3,y1+y22−y3)=(x1+x2−2x32,y1+y2−2y32)\overrightarrow{CK} = \left( \frac{x_1 + x_2}{2} - x_3, \frac{y_1 + y_2}{2} - y_3 \right) = \left( \frac{x_1 + x_2 - 2x_3}{2}, \frac{y_1 + y_2 - 2y_3}{2} \right)
Cộng các vectơ: Bây giờ ta cộng các vectơ AM→\overrightarrow{AM}, BN→\overrightarrow{BN}, và CK→\overrightarrow{CK}:

AM→+BN→+CK→=(x2+x3−2x12,y2+y3−2y12)+(x1+x3−2x22,y1+y3−2y22)+(x1+x2−2x32,y1+y2−2y32)\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BN} + \overrightarrow{CK} = \left( \frac{x_2 + x_3 - 2x_1}{2}, \frac{y_2 + y_3 - 2y_1}{2} \right) + \left( \frac{x_1 + x_3 - 2x_2}{2}, \frac{y_1 + y_3 - 2y_2}{2} \right) + \left( \frac{x_1 + x_2 - 2x_3}{2}, \frac{y_1 + y_2 - 2y_3}{2} \right)Tính toán thành phần hoành độ:

x2+x3−2x12+x1+x3−2x22+x1+x2−2x32=(x2+x3−2x1)+(x1+x3−2x2)+(x1+x2−2x3)2\frac{x_2 + x_3 - 2x_1}{2} + \frac{x_1 + x_3 - 2x_2}{2} + \frac{x_1 + x_2 - 2x_3}{2} = \frac{(x_2 + x_3 - 2x_1) + (x_1 + x_3 - 2x_2) + (x_1 + x_2 - 2x_3)}{2} =x2+x3−2x1+x1+x3−2x2+x1+x2−2x32=(x2−x2)+(x3−x3)+(x1−x1)2=02=0= \frac{x_2 + x_3 - 2x_1 + x_1 + x_3 - 2x_2 + x_1 + x_2 - 2x_3}{2} = \frac{(x_2 - x_2) + (x_3 - x_3) + (x_1 - x_1)}{2} = \frac{0}{2} = 0Tính toán thành phần tung độ:

y2+y3−2y12+y1+y3−2y22+y1+y2−2y32=(y2+y3−2y1)+(y1+y3−2y2)+(y1+y2−2y3)2\frac{y_2 + y_3 - 2y_1}{2} + \frac{y_1 + y_3 - 2y_2}{2} + \frac{y_1 + y_2 - 2y_3}{2} = \frac{(y_2 + y_3 - 2y_1) + (y_1 + y_3 - 2y_2) + (y_1 + y_2 - 2y_3)}{2} =y2+y3−2y1+y1+y3−2y2+y1+y2−2y32=(y2−y2)+(y3−y3)+(y1−y1)2=02=0= \frac{y_2 + y_3 - 2y_1 + y_1 + y_3 - 2y_2 + y_1 + y_2 - 2y_3}{2} = \frac{(y_2 - y_2) + (y_3 - y_3) + (y_1 - y_1)}{2} = \frac{0}{2} = 0
Kết luận: Vì cả hai thành phần hoành độ và tung độ của tổng vectơ đều bằng 0, ta có:

AM→+BN→+CK→=0→\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BN} + \overrightarrow{CK} = \overrightarrow{0}
Vậy ta đã chứng minh được rằng AM→+BN→+CK→=0→\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BN} + \overrightarrow{CK} = \overrightarrow{0}, như yêu cầu.