Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để tìm số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số, sao cho chia cho 15 dư 9 và chia cho 16 dư 10, ta cần giải hệ phương trình đồng dư sau:

\[
x \equiv 9 \pmod{15}
\]
\[
x \equiv 10 \pmod{16}
\]

Từ đồng dư \(x \equiv 9 \pmod{15}\), ta có thể viết \(x\) dưới dạng:

\[
x = 15k + 9 \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z}
\]

Tiếp theo, thay \(x = 15k + 9\) vào đồng dư thứ hai \(x \equiv 10 \pmod{16}\):

\[
15k + 9 \equiv 10 \pmod{16}
\]

Giải phương trình này:

\[
15k + 9 \equiv 10 \pmod{16}
\]
\[
15k \equiv 1 \pmod{16}
\]

Vì \(15 \equiv -1 \pmod{16}\), ta có:

\[
- k \equiv 1 \pmod{16}
\]
\[
k \equiv -1 \equiv 15 \pmod{16}
\]

Do đó, \(k = 16m + 15\) với \(m \in \mathbb{Z}\).

Thay \(k = 16m + 15\) vào biểu thức \(x = 15k + 9\):

\[
x = 15(16m + 15) + 9
\]
\[
x = 240m + 225 + 9
\]
\[
x = 240m + 234
\]

Ta cần tìm giá trị của \(m\) sao cho \(x\) có ba chữ số, tức là \(100 \leq x \leq 999\). Ta có:

\[
100 \leq 240m + 234 \leq 999
\]

Giải bất phương trình này:

\[
100 \leq 240m + 234 \quad \text{và} \quad 240m + 234 \leq 999
\]

- Từ \(100 \leq 240m + 234\), ta có:

\[
100 - 234 \leq 240m \quad \Rightarrow \quad -134 \leq 240m \quad \Rightarrow \quad m \geq \frac{-134}{240} \approx -0.558
\]

Vì \(m\) là số nguyên, ta có \(m \geq 0\).

- Từ \(240m + 234 \leq 999\), ta có:

\[
240m \leq 999 - 234 \quad \Rightarrow \quad 240m \leq 765 \quad \Rightarrow \quad m \leq \frac{765}{240} \approx 3.1875
\]

Vì \(m\) là số nguyên, ta có \(m \leq 3\).

Với \(m = 0\), ta có:

\[
x = 240(0) + 234 = 234
\]

Với \(m = 1\), ta có:

\[
x = 240(1) + 234 = 474
\]

Với \(m = 2\), ta có:

\[
x = 240(2) + 234 = 714
\]

Với \(m = 3\), ta có:

\[
x = 240(3) + 234 = 954
\]

Do đó, giá trị của \(x\) lớn nhất có ba chữ số là \(x = 954\).

Số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số, chia 15 dư 9 và chia 16 dư 10 là **954**.

...Xem thêm

Answer 2