Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần xem xét hai phương trình:

1. \(\cos(2x + \frac{\pi}{3}) = \cos \frac{\pi}{6}\)
2. \(2\cos(2x + \frac{\pi}{3}) - 1 = 0\)

 \(\cos(2x + \frac{\pi}{3}) = \cos \frac{\pi}{6}\)

Áp dụng tính chất của hàm cosin: nếu \(\cos \alpha = \cos \beta\), thì \(\alpha = 2k\pi \pm \beta\) với \(k \in \mathbb{Z}\).

Do đó, từ phương trình \(\cos(2x + \frac{\pi}{3}) = \cos \frac{\pi}{6}\), ta có hai trường hợp sau:

\[
2x + \frac{\pi}{3} = 2k\pi + \frac{\pi}{6} \quad \text{hoặc} \quad 2x + \frac{\pi}{3} = 2k\pi - \frac{\pi}{6}
\]

 \(2x + \frac{\pi}{3} = 2k\pi + \frac{\pi}{6}\)

Giải phương trình này:

\[
2x = 2k\pi + \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3}
\]
\[
2x = 2k\pi - \frac{\pi}{6}
\]
\[
x = k\pi - \frac{\pi}{12}
\]

 \(2x + \frac{\pi}{3} = 2k\pi - \frac{\pi}{6}\)

Giải phương trình này:

\[
2x = 2k\pi - \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3}
\]
\[
2x = 2k\pi - \frac{\pi}{2}
\]
\[
x = k\pi - \frac{\pi}{4}
\]

Vậy các nghiệm của phương trình \(\cos(2x + \frac{\pi}{3}) = \cos \frac{\pi}{6}\) là:

\[
x = k\pi - \frac{\pi}{12} \quad \text{hoặc} \quad x = k\pi - \frac{\pi}{4}
\]

 \(2\cos(2x + \frac{\pi}{3}) - 1 = 0\)

Chuyển đổi phương trình này:

\[
2\cos(2x + \frac{\pi}{3}) = 1
\]
\[
\cos(2x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}
\]

Từ đây, ta áp dụng tính chất của hàm cosin: nếu \(\cos \theta = \frac{1}{2}\), thì \(\theta = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\).

Do đó, ta có hai trường hợp:

\[
2x + \frac{\pi}{3} = 2k\pi + \frac{\pi}{3} \quad \text{hoặc} \quad 2x + \frac{\pi}{3} = 2k\pi - \frac{\pi}{3}
\]

\(2x + \frac{\pi}{3} = 2k\pi + \frac{\pi}{3}\)

Giải phương trình này:

\[
2x = 2k\pi
\]
\[
x = k\pi
\]

\(2x + \frac{\pi}{3} = 2k\pi - \frac{\pi}{3}\)

Giải phương trình này:

\[
2x = 2k\pi - \frac{2\pi}{3}
\]
\[
x = k\pi - \frac{\pi}{3}
\]

Vậy các nghiệm của phương trình \(2\cos(2x + \frac{\pi}{3}) - 1 = 0\) là:

\[
x = k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = k\pi - \frac{\pi}{3}
\]

- Các nghiệm của phương trình \( \cos(2x + \frac{\pi}{3}) = \cos \frac{\pi}{6} \) là \( x = k\pi - \frac{\pi}{12} \) hoặc \( x = k\pi - \frac{\pi}{4} \).
- Các nghiệm của phương trình \( 2\cos(2x + \frac{\pi}{3}) - 1 = 0 \) là \( x = k\pi \) hoặc \( x = k\pi - \frac{\pi}{3} \).