Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước theo yêu cầu của đề bài:

Giải quyết câu a): Chứng minh tứ giác AFHEAFHE là hình chữ nhật
Đề bài:
Cho tam giác vuông △ABC\triangle ABC vuông tại AA, đường cao AHAH (do đó AHAH là đường vuông góc với BCBC).

Kẻ HEHE vuông góc với ABAB tại điểm EE và HFHF vuông góc với ACAC tại điểm FF.

Cần chứng minh: Tứ giác AFHEAFHE là hình chữ nhật.

Giải thích và chứng minh:
Tứ giác AFHEAFHE: Các điểm A,F,H,EA, F, H, E tạo thành một tứ giác trong tam giác vuông △ABC\triangle ABC. Để chứng minh tứ giác này là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng các góc trong tứ giác AFHEAFHE đều là góc vuông.
Đặc điểm của tứ giác AFHEAFHE:

Ta đã biết rằng AHAH là đường cao của tam giác vuông △ABC\triangle ABC, do đó AHAH vuông góc với BCBC.
HEHE vuông góc với ABAB, do đó ∠AHE=90∘\angle AHE = 90^\circ.
HFHF vuông góc với ACAC, do đó ∠AHF=90∘\angle AHF = 90^\circ.
Chứng minh các góc trong tứ giác AFHEAFHE là góc vuông:

∠AHF=90∘\angle AHF = 90^\circ (vì HFHF vuông góc với ACAC),
∠AHE=90∘\angle AHE = 90^\circ (vì HEHE vuông góc với ABAB).
Vậy, tứ giác AFHEAFHE có hai góc vuông kề nhau. Khi có hai góc vuông kề nhau trong một tứ giác, tứ giác đó là hình chữ nhật.
Kết luận: Tứ giác AFHEAFHE là hình chữ nhật.

Giải quyết câu b): Chứng minh tứ giác AEFMAEFM là hình bình hành
Đề bài:
Trên tia đối của tia HFHF, lấy điểm MM sao cho FH=FMFH = FM (tức là MM đối xứng với HH qua FF).

Cần chứng minh: Tứ giác AEFMAEFM là hình bình hành.

Giải thích và chứng minh:
Đặc điểm của điểm MM:

Điểm MM nằm trên tia đối của tia HFHF, sao cho FH=FMFH = FM. Tức là, MM là điểm đối xứng với HH qua FF.
Vì vậy, FF là trung điểm của đoạn thẳng HMHM (do FH=FMFH = FM).
Chứng minh AE∥MFAE \parallel MF và AF∥EMAF \parallel EM:

Trong tam giác vuông △ABC\triangle ABC, ta có HE∥ACHE \parallel AC và HF∥ABHF \parallel AB (vì HEHE vuông góc với ABAB và HFHF vuông góc với ACAC).
Từ đó, ta có thể suy ra rằng AE∥MFAE \parallel MF và AF∥EMAF \parallel EM (do tính chất của các đường vuông góc trong tam giác vuông).
Sử dụng tính chất của hình bình hành:

Nếu hai cặp cạnh đối diện của một tứ giác song song, thì tứ giác đó là hình bình hành.
Ta đã chứng minh được AE∥MFAE \parallel MF và AF∥EMAF \parallel EM, nên tứ giác AEFMAEFM là hình bình hành.
Kết luận: Tứ giác AEFMAEFM là hình bình hành.

Tóm lại:
Câu a): Tứ giác AFHEAFHE là hình chữ nhật.
Câu b): Tứ giác AEFMAEFM là hình bình hành.
Hy vọng lời giải này giúp bạn hiểu rõ hơn về các bước chứng minh trong bài toán!