Tính \(\cos \alpha\)

Vì \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), ta có:
\[
\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}
\]
Do đó, \(\cos \alpha = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}\)

 Tính \(\tan \alpha\)

\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}
\]

 Tính \(\tan 2\alpha\) bằng công thức nhân đôi

Công thức cho \(\tan 2\alpha\) là:
\[
\tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}
\]
Thay \(\tan \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{4}\) vào:
\[
\tan 2\alpha = \frac{2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)}{1 - \left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2}
\]
Tính tử số:
\[
2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}
\]
Tính mẫu số:
\[
1 - \left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 = 1 - \frac{2}{16} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}
\]
Do đó:
\[
\tan 2\alpha = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{7}{8}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{8}{7} = -\frac{4\sqrt{2}}{7}
\]