Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

\[
\frac{2}{3} \left( 1 + \frac{1}{2} \times 4 \right) \left( 1 + \frac{1}{3} \times 5 \right) \left( 1 + \frac{1}{4} \times 6 \right) \cdots \left( 1 + \frac{1}{2023} \times 2025 \right)
\]

Mỗi yếu tố trong dấu ngoặc có dạng:

\[
1 + \frac{1}{n} \times (n+2)
\]

Trong đó $ n $ bắt đầu từ 2 và kết thúc tại 2023. Ta có thể viết lại biểu thức trong dấu ngoặc như sau:

\[
1 + \frac{n+2}{n} = 1 + 1 + \frac{2}{n} = 2 + \frac{2}{n}
\]

Do đó, mỗi yếu tố trong biểu thức trở thành:

\[
2 + \frac{2}{n}
\]

Vậy biểu thức ban đầu có thể được viết lại là:

\[
\frac{2}{3} \times \prod_{n=2}^{2023} \left( 2 + \frac{2}{n} \right)
\]

Mỗi yếu tố $ 2 + \frac{2}{n} $ có thể viết dưới dạng:

\[
2 + \frac{2}{n} = \frac{2n + 2}{n} = \frac{2(n+1)}{n}
\]

Vậy biểu thức tổng thể trở thành:

\[
\frac{2}{3} \times \prod_{n=2}^{2023} \frac{2(n+1)}{n}
\]

Biểu thức trên có dạng của một tích:

\[
\prod_{n=2}^{2023} \frac{2(n+1)}{n} = \frac{2 \times 3}{2} \times \frac{3 \times 4}{3} \times \frac{4 \times 5}{4} \times \cdots \times \frac{2024 \times 2025}{2023}
\]

Ta thấy rằng hầu hết các yếu tố trong tử số và mẫu số sẽ rút gọn với nhau, chỉ còn lại:

\[
\frac{2 \times 2025}{2 \times 2023} = \frac{2025}{2023}
\]

Vậy biểu thức ban đầu trở thành:

\[
\frac{2}{3} \times \frac{2025}{2023} = \frac{2 \times 2025}{3 \times 2023} = \frac{4050}{6069}
\]

Ta có thể rút gọn phân số $\frac{4050}{6069}$. Để tìm ước chung lớn nhất (UCLN) của 4050 và 6069, ta có thể sử dụng thuật toán Euclid hoặc thử chia trực tiếp. Sau khi thực hiện phép chia, ta có:

\[
\text{UCLN}(4050, 6069) = 3
\]

Vì vậy, ta có thể rút gọn:

\[
\frac{4050}{6069} = \frac{4050 \div 3}{6069 \div 3} = \frac{1350}{2023}
\]

Vậy giá trị của biểu thức là:

\[
\boxed{\frac{1350}{2023}}
\]

...Xem thêm

Answer 2