Trong một cấp số cộng, ta có:

- \( U_1 = a \) (số hạng đầu)
- \( U_2 = a + d \) (số hạng thứ hai)
- \( U_3 = a + 2d \) (số hạng thứ ba)

Theo đề bài, ta có hai điều kiện:

1. \( U_1 + U_2 + U_3 = -12 \)
2. \( U_1 U_2 U_3 = 8 \)

Từ điều kiện tổng, ta có:

\[
a + (a + d) + (a + 2d) = -12
\]

Rút gọn:

\[
3a + 3d = -12
\]

Chia cả hai bên cho 3:

\[
a + d = -4 \quad \text{(1)}
\]

Từ điều kiện tích, ta có:

\[
a \cdot (a + d) \cdot (a + 2d) = 8
\]

Thay \( d = -4 - a \) (từ phương trình (1)) vào phương trình tích:

\[
a \cdot (a + (-4 - a)) \cdot (a + 2(-4 - a)) = 8
\]

Điều này trở thành:

\[
a \cdot (-4) \cdot (-8 - a) = 8
\]

Rút gọn:

\[
4a(8 + a) = 8
\]

Chia cả hai bên cho 4:

\[
a(8 + a) = 2
\]

Phương trình này trở thành:

\[
a^2 + 8a - 2 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Với \( a = 1, b = 8, c = -2 \):

\[
a = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}
\]
\[
= \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 8}}{2}
\]
\[
= \frac{-8 \pm \sqrt{72}}{2}
\]
\[
= \frac{-8 \pm 6\sqrt{2}}{2}
\]
\[
= -4 \pm 3\sqrt{2}
\]

Sử dụng \( a + d = -4 \):

- Nếu \( a = -4 + 3\sqrt{2} \):
\[
d = -4 - (-4 + 3\sqrt{2}) = -3\sqrt{2}
\]

- Nếu \( a = -4 - 3\sqrt{2} \):
\[
d = -4 - (-4 - 3\sqrt{2}) = 3\sqrt{2}
\]

Do đó, hai khả năng cho số hạng đầu và công sai của cấp số cộng là:

1. **Số hạng đầu**: \( a = -4 + 3\sqrt{2} \), **Công sai**: \( d = -3\sqrt{2} \)
2. **Số hạng đầu**: \( a = -4 - 3\sqrt{2} \), **Công sai**: \( d = 3\sqrt{2} \)