Dưới đây là lời giải cho từng câu của bài toán:

 a) Chứng minh \( BHCD \) là hình bình hành.

Để chứng minh \( BHCD \) là hình bình hành, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

- Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \) và \( D \) là điểm đối xứng của \( H \) qua \( M \), nên \( M \) cũng là trung điểm của \( HD \). Do đó, ta có \( BH \parallel CD \) và \( BH = CD \).
- Tương tự, \( M \) là trung điểm của \( BC \) nên \( BH \parallel CD \) và \( BH = CD \).

Vì hai cặp cạnh đối của tứ giác \( BHCD \) song song và bằng nhau, nên \( BHCD \) là một hình bình hành.

 b) Chứng minh tam giác \( ABD \) là tam giác vuông.

- Vì \( \triangle ABC \) là tam giác nhọn và \( BE \) và \( CF \) là các đường cao từ \( B \) và \( C \), nên \( H \) là trực tâm của \( \triangle ABC \).
- Do đó, \( AH \) cũng là một đường cao của \( \triangle ABC \).
- Điểm \( D \) là điểm đối xứng của \( H \) qua \( M \), nên \( AD \) là đường trung trực của \( BC \), tức là \( AD \) vuông góc với \( BC \).

Vậy tam giác \( ABD \) là tam giác vuông tại \( A \).

 c) Gọi \( I \) là trung điểm của \( AD \). Chứng minh rằng \( IB = IC \).

- Vì \( I \) là trung điểm của \( AD \) và \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên \( I \) và \( M \) là trung điểm của các cạnh đối ứng trong hình bình hành \( BHCD \).
- Trong hình bình hành, đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, do đó \( IM \) song song với \( BC \) và chia đôi đoạn thẳng \( BC \).

Vậy, \( IB = IC \).

 d) Tam giác \( ABC \) phải có điều kiện gì để tứ giác \( BHCD \) trở thành hình vuông?

Để tứ giác \( BHCD \) là hình vuông, nó cần thỏa mãn hai điều kiện:

1. \( BHCD \) là hình bình hành có các góc vuông.
2. Điều này xảy ra khi \( \triangle ABC \) là tam giác cân tại \( A \) (tức là \( AB = AC \)), vì khi đó các đường cao \( BE \) và \( CF \) sẽ bằng nhau và tạo góc vuông với nhau.

Vậy, điều kiện để \( BHCD \) trở thành hình vuông là \( \triangle ABC \) phải là tam giác cân tại \( A \).