Ta có công thức hiệu của hai hàm sin:

\[
\sin A - \sin B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \sin \left( \frac{A - B}{2} \right)
\]

Áp dụng với \( A = x + \frac{\pi}{4} \) và \( B = x - \frac{\pi}{4} \):

\[
\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) - \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = 2 \cos \left( \frac{\left( x + \frac{\pi}{4} \right) + \left( x - \frac{\pi}{4} \right)}{2} \right) \sin \left( \frac{\left( x + \frac{\pi}{4} \right) - \left( x - \frac{\pi}{4} \right)}{2} \right)
\]

Tính các biểu thức trong ngoặc:

1. \(\frac{\left( x + \frac{\pi}{4} \right) + \left( x - \frac{\pi}{4} \right)}{2} = \frac{2x}{2} = x\)
2. \(\frac{\left( x + \frac{\pi}{4} \right) - \left( x - \frac{\pi}{4} \right)}{2} = \frac{\pi}{4}\)

Do đó:

\[
\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) - \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = 2 \cos(x) \sin \left( \frac{\pi}{4} \right)
\]

Vì \(\sin \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), ta có:

\[
\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) - \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = 2 \cos(x) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \cos(x)
\]

Vậy:

\[
\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) - \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \cos(x)
\]