Để giải bài toán về hình thang cân ABCD, ta sẽ lần lượt giải từng câu hỏi:

 Câu a: Chứng minh DH = CK
- Giả thuyết: Hình thang ABCD là hình thang cân với AB // CD.
- Hình chiếu: AH vuông góc với CD và BF vuông góc với CD tại K.

Chứng minh:
1. Xét hai tam giác vuông AHD và BKC.
2. Trong tam giác AHD, ta có AH vuông góc với CD, và DH là cạnh bên.
3. Trong tam giác BKC, ta có BK vuông góc với CD, và CK là cạnh bên.
4. Vì AB // CD, nên góc BAD = góc DAB.
5. Tam giác AHD và BKC là đồng dạng (góc vuông và một cặp góc bằng nhau).
6. Từ đó, ta có DH = CK.

Câu b: Tính góc AHK và góc BAD
- Cho góc D = 70°.

1. Tính góc AHK:
- Vì AH vuông góc với CD, nên góc AHK = 90° - góc D = 90° - 70° = 20°.

2. Tính góc BAD:
- Trong hình thang cân, góc BAD = góc DAB.
- Do đó, góc BAD = 70°.

 Câu c: Tính AD và AC
- Cho AB = 10 cm, CD = 30 cm, AH = 3 cm.

1. Tính độ dài AD:
- Theo định lý Pytago trong tam giác vuông AHD:
\[
AD^2 = AH^2 + DH^2
\]
- Gọi DH = x, ta có \( CD = AB + 2DH = 10 + 2x \).
- Thay vào phương trình:
\[
30 = 10 + 2x \implies 2x = 20 \implies x = 10 \text{ cm}.
\]
- Thay vào công thức Pytago:
\[
AD^2 = 3^2 + 10^2 = 9 + 100 = 109 \implies AD = \sqrt{109} \approx 10.44 \text{ cm}.
\]

2. Tính độ dài AC:
- Sử dụng định lý Pytago trong tam giác vuông AHC:
\[
AC^2 = AH^2 + HC^2.
\]
- Ta biết HC = CD - DH = 30 - 10 = 20 cm:
\[
AC^2 = 3^2 + 20^2 = 9 + 400 = 409 \implies AC = \sqrt{409} \approx 20.22 \text{ cm}.
\]

 Câu d: Chứng minh DCMI là hình thang
- Vẽ DM là tia phân giác của góc ADC, M thuộc AC, qua M vẽ đường thẳng song song CD cắt AD tại I.

Chứng minh:
1. Vì DM là tia phân giác, nên góc ADM = góc MDC.
2. Do M nằm trên AC, và CD // MI, nên góc DCM = góc IDM.
3. Từ đó, DCMI có hai cạnh đối song song (CD // MI) và các góc tương ứng bằng nhau.
4. Kết luận, DCMI là hình thang.

 Câu e: Chứng minh ID = IM
- Chứng minh:
1. Trong tam giác DMI, DM là phân giác, nên:
\[
\frac{ID}{IM} = \frac{AD}{AC}.
\]
2. Vì AD = AC (hình thang cân), nên \( ID = IM \).

 Kết luận
Các phần đã giải chứng minh các yêu cầu đề bài một cách rõ ràng. Nếu bạn cần thêm chi tiết hay hình vẽ minh họa, hãy cho tôi biết!