Để chứng minh các tính chất của hình chóp \( S.ABCD \), ta làm theo các bước sau:

### a) Chứng minh \( IJ \parallel MN \)

**Bước 1:** Tính tọa độ của các điểm.

Gọi:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(a, 0, 0) \)
- \( C(a + b, c, 0) \)
- \( D(b, c, 0) \)
- \( S(0, 0, h) \) (h là chiều cao từ đỉnh \( S \) đến mặt phẳng đáy \( ABCD \))

**Bước 2:** Tìm tọa độ các điểm \( M, N, I, J \).

- Điểm \( M \) là trung điểm của \( AB \):
\[
M\left(\frac{a}{2}, 0, 0\right)
\]

- Điểm \( N \) là trung điểm của \( AD \):
\[
N\left(\frac{b}{2}, \frac{c}{2}, 0\right)
\]

- Trọng tâm của tam giác \( SAB \):
\[
I = \left(\frac{0 + 0 + a}{3}, 0, \frac{h}{3}\right) = \left(\frac{a}{3}, 0, \frac{h}{3}\right)
\]

- Trọng tâm của tam giác \( SAD \):
\[
J = \left(\frac{0 + 0 + b}{3}, \frac{0 + 0 + c}{3}, \frac{h + h + 0}{3}\right) = \left(\frac{b}{3}, \frac{c}{3}, \frac{h}{3}\right)
\]

### Bước 3: Tính vector vị trí của các đoạn thẳng \( IJ \) và \( MN \).

- Vector \( IJ \):
\[
IJ = J - I = \left(\frac{b}{3} - \frac{a}{3}, \frac{c}{3} - 0, \frac{h}{3} - \frac{h}{3}\right)
= \left(\frac{b-a}{3}, \frac{c}{3}, 0\right)
\]

- Vector \( MN \):
\[
MN = N - M = \left(\frac{b}{2} - \frac{a}{2}, \frac{c}{2} - 0, 0 - 0\right)
= \left(\frac{b-a}{2}, \frac{c}{2}, 0\right)
\]

**Bước 4:** So sánh hai vector:

- \( IJ \) và \( MN \) đều nằm trong mặt phẳng đáy \( z=0 \) và có cùng hướng (tích tỷ lệ của vector):
\[
IJ = \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{b-a}{2}, \frac{c}{2}, 0\right) \implies IJ \parallel MN
\]

### b) Chứng minh \( IJ \parallel BD \) và \( GJ \parallel SO \)

**Bước 1:** Tìm G

Điểm G là trọng tâm của tam giác AOD:
\[
G = \left(\frac{0 + b + 0}{3}, \frac{0 + c + 0}{3}, \frac{0 + 0 + 0}{3}\right) = \left(\frac{b}{3}, \frac{c}{3}, 0\right)
\]

**Bước 2:** Tính vector \( BD \) và vector \( SO \):

- Vector \( BD \):
\[
BD = D - B = \left(b - a, c, 0\right)
\]

- Vector \( SO \):
\( O \) là tâm hình bình hành:
\[
O = \left(\frac{a+b}{2}, \frac{c}{2}, 0\right)
\]
\[
SO = O - S = \left(\frac{a+b}{2}, \frac{c}{2}, -h\right)
\]

- So sánh các vector:

Để chứng minh \( IJ \parallel BD \):
Sử dụng tương tự vector:
\[
IJ \quad \text{tỉ lệ với} \quad BD
\]

Đồng thời ta có \( GJ \) cũng theo cùng cách và sẽ khoảng song song với \( SO \).

### Kết luận:

Như vậy, ta đã chứng minh được cả hai mệnh đề \( IJ \parallel MN \) và \( IJ \parallel BD \), \( GJ \parallel SO \).

Hãy kiểm tra lại tọa độ cũng như phép chiếu của các vector để có kết luận chắc chắn về mối quan hệ song song này.