Phân tích bài toán:

Ta có dãy số B được tạo thành từ các phân số có dạng n2n2−1​, với n lần lượt là 2, 3, 4, ..., 50.

Cách tiếp cận:

Để chứng minh B không phải là số nguyên, chúng ta sẽ chứng minh rằng tồn tại ít nhất một phân số trong dãy B có giá trị không phải là số nguyên.

Lời giải:

Quan sát các phân số: Dễ thấy mỗi phân số trong dãy đều có tử số nhỏ hơn mẫu số 1 đơn vị. Ví dụ:

43​=1−41​
98​=1−91​
...
25002499​=1−25001​
Biểu diễn B dưới dạng tổng: Ta có thể viết lại B dưới dạng: B = (1 - 1/4) + (1 - 1/9) + (1 - 1/16) + ... + (1 - 1/2500) B = (1 + 1 + 1 + ... + 1) - (1/4 + 1/9 + 1/16 + ... + 1/2500) B = 49 - (1/4 + 1/9 + 1/16 + ... + 1/2500)
Phân tích phần còn lại: Phần (1/4 + 1/9 + 1/16 + ... + 1/2500) rõ ràng là một tổng các phân số dương. Mà 49 là một số nguyên.
Kết luận: Để B là số nguyên thì (1/4 + 1/9 + 1/16 + ... + 1/2500) cũng phải là số nguyên. Tuy nhiên, tổng các phân số dương 1/4, 1/9, 1/16, ..., 1/2500 không bao giờ có thể bằng một số nguyên.
Vậy, ta kết luận B không phải là số nguyên.

Lý do:

Mỗi phân số trong dãy đều nhỏ hơn 1 nhưng không bằng 1.
Khi cộng nhiều phân số như vậy lại, kết quả sẽ không bao giờ là một số nguyên.
Tổng kết:

Bằng cách phân tích và biểu diễn lại dãy số B, chúng ta đã chứng minh được rằng B không thể là một số nguyên.

Để chứng minh rằng biểu thức \( B = \frac{3}{4} + \frac{8}{9} + \frac{15}{16} + \frac{24}{25} + ... + \frac{2499}{2500} \) không phải là số nguyên, chúng ta cần phân tích tổng này.

### Cấu trúc của biểu thức:
Các phân số trong tổng có dạng:

\[
\frac{n^2 - 1}{n^2} = 1 - \frac{1}{n^2}
\]

Cụ thể, mỗi phân số trong dãy có dạng:

\[
\frac{n^2 - 1}{n^2} = \frac{n^2 - 1}{n^2} = 1 - \frac{1}{n^2}
\]

### Tổng của biểu thức \(B\):
Viết lại tổng của dãy \( B \) như sau:

\[
B = \sum_{n=2}^{2500} \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)
\]

Chúng ta tách tổng ra thành hai phần:

\[
B = \sum_{n=2}^{2500} 1 - \sum_{n=2}^{2500} \frac{1}{n^2}
\]

### Phần 1: Tính tổng \( \sum_{n=2}^{2500} 1 \)
Tổng này chỉ là tổng của số 1 từ \( n = 2 \) đến \( n = 2500 \), nên:

\[
\sum_{n=2}^{2500} 1 = 2499
\]

### Phần 2: Tính tổng \( \sum_{n=2}^{2500} \frac{1}{n^2} \)
Đây là tổng của các phân số có mẫu là bình phương các số nguyên từ \( n = 2 \) đến \( n = 2500 \). Giá trị của tổng này không phải là số nguyên.

Cụ thể:

\[
\sum_{n=2}^{2500} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + ... + \frac{1}{2500}
\]

Tổng này rất nhỏ nhưng không thể đơn giản triệt tiêu hoàn toàn, và nó chắc chắn không phải là số nguyên.

### Kết luận:
Vì \( \sum_{n=2}^{2500} \frac{1}{n^2} \) không phải là số nguyên, nên tổng \( B = 2499 - \sum_{n=2}^{2500} \frac{1}{n^2} \) cũng không phải là số nguyên.

Do đó, **\( B \) không phải là số nguyên**.