Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần yêu cầu:

a) **∆ABM là tam giác gì?**

Từ giả thiết, chúng ta có tứ giác ABCD với AB < AD. Tia phân giác của góc B cắt AD tại M và tia phân giác của góc D cắt BC tại N. Như vậy, ∠BAM = ∠MAB (do M là điểm trên phân giác) và ∠DAN = ∠NAD (do N là điểm trên phân giác).

Theo định lý phân giác trong tam giác (B), ta có tỉ số AB/AD = BM/MD. Điều này chứng tỏ rằng điểm M nằm chính xác trên tia phân giác của góc A.

Do đó, ∆ABM có thể được coi là tam giác với một cạnh không đối diện với tỉ lệ đều và góc có tia phân giác. Hơn nữa, nếu chúng ta xem xét bề ngoài, thì ∆ABM có thể là một tam giác vuông hoặc tam giác đều, nhưng không có thông tin chi tiết hơn để xác định điều này với các số liệu đã cho.

b) **Chứng minh tứ giác BMDN**

Để chứng minh tứ giác BMDN, chúng ta có thể sử dụng một số định lý trong hình học hoặc tính chất của phân giác.

- Từ định lý phân giác, biết rằng M nằm trên AD và N nằm trên BC, do đó:
- ∠BAM = ∠MAB
- ∠DAN = ∠NAD

- Với M và N là các điểm trên các cạnh của ABCD, ta có:
- Chứng minh rằng β1 = β2 và γ1 = γ2 tương ứng với các cạnh BM và DN.

Khi đó, ta có thể chỉ ra rằng tứ giác BMDN là một tứ giác nội tiếp. Do đó, hai cặp góc đối diện của tứ giác BMDN sẽ bằng nhau (chủ yếu là góc nội tiếp).

Tuy nhiên, để hoàn thành việc chứng minh, chúng ta có thể cần thêm các yếu tố như tính chất và định lý khác của tứ giác hoặc tỉ lệ độ dài cạnh.

Nếu cần một chứng minh cụ thể hơn về tứ giác BMDN, có thể cần đến các cách làm hình học khác hoặc các phương pháp biến đổi khác như đồng quy của các tia phân giác hay tạo ra các điểm đồng quy khác để thiết lập tính chất lòng tứ giác.