a. **Xác định \( A \cap B \)**:

- \( A = [1; 5] \) (Tập hợp các số từ 1 đến 5, bao gồm cả 1 và 5).
- \( B = (-3; 2) \cup (3; 7) \) (Tập hợp các số từ -3 đến 2, không bao gồm -3 và 2, và từ 3 đến 7, không bao gồm 3 và 7).

Để xác định \( A \cap B \), ta xét giao giữa từng đoạn trong \( A \) và các đoạn trong \( B \):

- Giao của \( [1; 5] \) với \( (-3; 2) \) là đoạn \( [1; 2) \).
- Giao của \( [1; 5] \) với \( (3; 7) \) là đoạn \( (3; 5] \).

Vậy, \( A \cap B = [1; 2) \cup (3; 5] \).

---

b. **Xác định \( A \cup B \)**:

- \( A = \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq -3\} \), nghĩa là \( A = (-\infty, -3] \).
- \( B = (-4; 1) \cup [2; +\infty) \).

Để xác định \( A \cup B \), ta xét hợp giữa các đoạn:

- \( A = (-\infty, -3] \).
- \( B = (-4; 1) \cup [2; +\infty) \).

Ta thấy:
- \( (-\infty, -3] \) và \( (-4; 1) \) sẽ tạo thành đoạn \( (-\infty, 1) \).
- \( A \cup B = (-\infty, 1) \cup [2; +\infty) \).

Vậy, \( A \cup B = (-\infty, 1) \cup [2; +\infty) \).