Cho tam giác đều \( ABC \) có độ dài cạnh là \( a \). Ta sẽ giải từng phần của bài toán:

### a) Tính \( |\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{BC}| \):

- Tam giác đều có các cạnh bằng nhau, nên các vectơ \( \vec{AB}, \vec{AC}, \vec{BC} \) có độ dài bằng \( a \) và các góc giữa chúng bằng \( 60^\circ \).

- Đầu tiên, ta cần nhận ra rằng tam giác đều có tính chất đặc biệt: tổng của ba vectơ tạo bởi ba cạnh của tam giác đều là vectơ không. Tức là:
\[
\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{0}.
\]

- Do đó, ta có:
\[
\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{BC} = \vec{0}.
\]

- Độ dài của vectơ không là:
\[
|\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{BC}| = |\vec{0}| = 0.
\]

### b) Tính \( |\vec{AB} + \vec{AC}| \):

- Vì tam giác đều có các góc đều bằng \( 60^\circ \), góc giữa hai vectơ \( \vec{AB} \) và \( \vec{AC} \) là \( 60^\circ \).

- Để tính độ dài tổng của hai vectơ, ta sử dụng công thức tính độ dài tổng của hai vectơ dựa trên định lý cosin:
\[
|\vec{AB} + \vec{AC}| = \sqrt{|\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 + 2|\vec{AB}||\vec{AC}| \cos 60^\circ}.
\]

- Vì \( |\vec{AB}| = |\vec{AC}| = a \) và \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \), ta có:
\[
|\vec{AB} + \vec{AC}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 2a^2 \times \frac{1}{2}} = \sqrt{2a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}.
\]

### Kết quả:
- \( |\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{BC}| = 0 \),
- \( |\vec{AB} + \vec{AC}| = a\sqrt{3} \).