Để tìm giá trị của \(\tan\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\) khi \(\cos x = \frac{5}{13}\) và \(x \in [0; \pi]\), ta có thể sử dụng công thức sau:

\[
\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}
\]

Trong trường hợp này, ta có:
- \(a = x\)
- \(b = \frac{\pi}{4}\), mà \(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1\).

### Bước 1: Tính giá trị của \(\sin x\)

Sử dụng định nghĩa của hàm lượng giác, chúng ta có:

\[
\sin^2 x + \cos^2 x = 1
\]

Thay \(\cos x = \frac{5}{13}\) vào công thức trên:

\[
\sin^2 x + \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1
\]

Tính \(\left(\frac{5}{13}\right)^2\):

\[
\sin^2 x + \frac{25}{169} = 1
\]

Giải phương trình:

\[
\sin^2 x = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}
\]

Vậy:

\[
\sin x = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}
\]

Vì \(x \in [0; \pi]\), \(\sin x\) dương nên \(\sin x = \frac{12}{13}\).

### Bước 2: Tính giá trị của \(\tan x\)

Giá trị của \(\tan x\) được tính như sau:

\[
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = \frac{12}{5}
\]

### Bước 3: Tính giá trị của \(\tan\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\)

Áp dụng công thức:

\[
\tan\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan x + \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)}{1 - \tan x \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)}
\]

Thay giá trị đã tính:

\[
\tan\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\frac{12}{5} + 1}{1 - \frac{12}{5} \cdot 1} = \frac{\frac{12}{5} + \frac{5}{5}}{1 - \frac{12}{5}} = \frac{\frac{17}{5}}{\frac{-7}{5}}
\]

Rút gọn:

\[
\tan\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{17}{-7} = -\frac{17}{7}
\]

### Kết luận

Vậy giá trị của \(\tan\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\) là \(-\frac{17}{7}\).