Để giải phương trình \( \cot B = 2 \) và tính giá trị của biểu thức \( \frac{\sin B + 4 \cos B}{\cos B - 5 \sin B} \), ta thực hiện các bước sau:

### 1. Tính sin và cos từ cot

Từ \( \cot B = 2 \), ta có:

\[
\tan B = \frac{1}{2}
\]

Gọi \( \sin B = a \) và \( \cos B = b \), ta có:

\[
\frac{a}{b} = \frac{1}{2} \implies a = \frac{1}{2}b
\]

### 2. Sử dụng định luật Pythagore

Biết rằng:

\[
\sin^2 B + \cos^2 B = 1
\]

Thay \( a \) vào phương trình:

\[
\left(\frac{1}{2}b\right)^2 + b^2 = 1
\]

Giải phương trình này:

\[
\frac{1}{4}b^2 + b^2 = 1 \implies \frac{5}{4}b^2 = 1 \implies b^2 = \frac{4}{5} \implies b = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}
\]

Sau đó, tính \( a \):

\[
a = \frac{1}{2}b = \frac{1}{2} \cdot \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{5}}{5}
\]

### 3. Tính giá trị biểu thức

Bây giờ, thay giá trị của \( \sin B \) và \( \cos B \) vào biểu thức:

\[
\frac{\sin B + 4 \cos B}{\cos B - 5 \sin B} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{5} + 4 \cdot \frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{2\sqrt{5}}{5} - 5 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}}
\]

### 4. Đơn giản hóa biểu thức

**Tử:**

\[
\frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{8\sqrt{5}}{5} = \frac{9\sqrt{5}}{5}
\]

**Mẫu:**

\[
\frac{2\sqrt{5}}{5} - \frac{5\sqrt{5}}{5} = \frac{2\sqrt{5} - 5\sqrt{5}}{5} = \frac{-3\sqrt{5}}{5}
\]

### 5. Kết quả

Do đó, biểu thức trở thành:

\[
\frac{\frac{9\sqrt{5}}{5}}{\frac{-3\sqrt{5}}{5}} = \frac{9\sqrt{5}}{-3\sqrt{5}} = -3
\]

### Kết luận

Giá trị của biểu thức \( \frac{\sin B + 4 \cos B}{\cos B - 5 \sin B} \) là \(-3\).

Để giải phương trình \( \cot B = 2 \) và tính giá trị của biểu thức \( \frac{\sin B + 4 \cos B}{\cos B - 5 \sin B} \), ta thực hiện các bước như sau:

1. **Biểu diễn các hàm lượng giác theo nhau:**
\[
\cot B = \frac{\cos B}{\sin B} = 2 \Rightarrow \cos B = 2 \sin B
\]

2. **Sử dụng đồng dạng để tìm \(\sin B\) và \(\cos B\):**
Từ \( \cos B = 2 \sin B \), ta biết rằng \(\sin^2 B + \cos^2 B = 1\).
Thay \(\cos B\) vào phương trình trên:
\[
\sin^2 B + (2 \sin B)^2 = 1
\]
\[
\sin^2 B + 4 \sin^2 B = 1
\]
\[
5 \sin^2 B = 1 \Rightarrow \sin^2 B = \frac{1}{5} \Rightarrow \sin B = \frac{1}{\sqrt{5}}
\]

Từ \(\sin B\), ta tìm được \(\cos B\):
\[
\cos B = 2 \sin B = 2 \times \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}
\]

3. **Tính giá trị biểu thức:**
Biểu thức cần tính là:
\[
\frac{\sin B + 4 \cos B}{\cos B - 5 \sin B}
\]

Thay các giá trị đã tìm được:
\[
\sin B = \frac{1}{\sqrt{5}}, \quad \cos B = \frac{2}{\sqrt{5}}
\]

Tính tử số:
\[
\sin B + 4 \cos B = \frac{1}{\sqrt{5}} + 4 \times \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{1 + 8}{\sqrt{5}} = \frac{9}{\sqrt{5}}
\]

Tính mẫu số:
\[
\cos B - 5 \sin B = \frac{2}{\sqrt{5}} - 5 \times \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{2 - 5}{\sqrt{5}} = \frac{-3}{\sqrt{5}}
\]

Thay vào biểu thức:
\[
\frac{\frac{9}{\sqrt{5}}}{\frac{-3}{\sqrt{5}}} = \frac{9}{-3} = -3
\]

### Kết quả
Giá trị của biểu thức là:
\[
\frac{\sin B + 4 \cos B}{\cos B - 5 \sin B} = -3
\]