Để giải phương trình \( \sin(4x + \frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \), chúng ta sẽ làm theo các bước sau:

1. **Xác định các giá trị của sin**:
\[
\sin(\theta) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \theta = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad \theta = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

2. **Thay thế \(\theta\) bằng \(4x + \frac{\pi}{3}\)**:
\[
4x + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi
\]
\[
4x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi
\]

3. **Giải từng trường hợp**:

**Trường hợp 1**:
\[
4x + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi
\]
\[
4x = \frac{7\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi
\]
Để trừ hai phân số, quy đồng:
\[
\frac{7\pi}{4} - \frac{\pi}{3} = \frac{21\pi}{12} - \frac{4\pi}{12} = \frac{17\pi}{12}
\]
Vậy:
\[
4x = \frac{17\pi}{12} + 2k\pi
\]
\[
x = \frac{17\pi}{48} + \frac{k\pi}{2}
\]

**Trường hợp 2**:
\[
4x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi
\]
\[
4x = \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi
\]
Quy đồng:
\[
\frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{3} = \frac{15\pi}{12} - \frac{4\pi}{12} = \frac{11\pi}{12}
\]
Vậy:
\[
4x = \frac{11\pi}{12} + 2k\pi
\]
\[
x = \frac{11\pi}{48} + \frac{k\pi}{2}
\]

4. **Kết luận**:
Các nghiệm của phương trình \( \sin(4x + \frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) là:
\[
x = \frac{17\pi}{48} + \frac{k\pi}{2} \quad \text{và} \quad x = \frac{11\pi}{48} + \frac{k\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z})
\]