Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để tính giá trị của biểu thức

\[
100^2 - 99^2 + 98^2 - 97^2 + \ldots + 2^2 - 1^2,
\]

ta có thể sử dụng công thức hiệu của hai bình phương:

\[
a^2 - b^2 = (a-b)(a+b).
\]

Cụ thể, đối với các cặp số trong biểu thức:

1. **Cặp đầu tiên:**
\[
100^2 - 99^2 = (100 - 99)(100 + 99) = 1 \times 199 = 199.
\]

2. **Cặp thứ hai:**
\[
98^2 - 97^2 = (98 - 97)(98 + 97) = 1 \times 195 = 195.
\]

3. **Cặp thứ ba:**
\[
96^2 - 95^2 = (96 - 95)(96 + 95) = 1 \times 191 = 191.
\]

Và cứ tiếp tục như vậy cho đến cặp cuối cùng:

- **Cặp cuối cùng:**
\[
2^2 - 1^2 = (2 - 1)(2 + 1) = 1 \times 3 = 3.
\]

### Tổng hợp

Dễ nhận thấy rằng các số hạng trong chuỗi trên là một dãy số lẻ: 199, 195, 191, ..., 3.

Ta có thể viết lại dãy số lẻ này như sau:

- Số hạng đầu (số lẻ lớn nhất): 199
- Số hạng cuối (số lẻ nhỏ nhất): 3

### Số hạng và số lượng số hạng

Dãy số lẻ từ 199 đến 3 với công sai là -4.

Số hạng cuối của dãy là 3, do đó số hạng của dãy số được tính bằng công thức:

\[
n = \frac{199 - 3}{2} + 1 = \frac{196}{2} + 1 = 98 + 1 = 99.
\]

### Tính tổng

Tổng của dãy số lẻ này được tính bằng công thức tổng cấp số cộng:

\[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + l),
\]

với \(n\) là số hạng, \(a\) là số hạng đầu và \(l\) là số hạng cuối.

Áp dụng vào bài:

\[
S = \frac{99}{2} \cdot (199 + 3) = \frac{99}{2} \cdot 202 = 99 \cdot 101 = 9999.
\]

### Kết luận

Vậy giá trị của biểu thức là:

\[
\boxed{9999}.
\]

...Xem thêm

Answer 2