Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để rút gọn biểu thức

\[
(1 - \frac{1}{1 + 2})(1 - \frac{1}{1 + 2 + 3}) \cdots (1 - \frac{1}{1 + 2 + 3 + \ldots + 2006}),
\]

ta bắt đầu với các phần tử trong biểu thức.

### Bước 1: Tính tổng trong mẫu số

Tổng \(1 + 2 + 3 + \ldots + n\) được tính theo công thức:

\[
1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n + 1)}{2}.
\]

### Bước 2: Biểu thức từng phần

Với mỗi phần tử trong biểu thức, ta có:

\[
1 - \frac{1}{1 + 2 + \ldots + k} = 1 - \frac{1}{\frac{k(k + 1)}{2}} = 1 - \frac{2}{k(k + 1)}.
\]

### Bước 3: Rút gọn

Chúng ta sẽ rút gọn \(1 - \frac{2}{k(k + 1)}\):

\[
1 - \frac{2}{k(k + 1)} = \frac{k(k + 1) - 2}{k(k + 1)} = \frac{k^2 + k - 2}{k(k + 1)} = \frac{(k - 1)(k + 2)}{k(k + 1)}.
\]

### Bước 4: Biểu thức tổng quát

Vậy, mỗi phần tử trong biểu thức sẽ là:

\[
\frac{(k - 1)(k + 2)}{k(k + 1)}.
\]

### Bước 5: Viết lại toàn bộ biểu thức

Biểu thức trở thành:

\[
\prod_{k=1}^{2006} \frac{(k - 1)(k + 2)}{k(k + 1)}.
\]

### Bước 6: Tính tích

Tính toán từng phần tử trong tích này:

1. Phần tử từ \(k = 1\) đến \(k = 2006\):

\[
= \frac{(0)(3) \cdot (1)(4) \cdots (2005)(2008)}{1 \cdot 2 \cdots 2006 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 2007}.
\]

2. Để ý rằng \(k - 1\) từ \(0\) đến \(2005\) sẽ cho ra \(0\), do đó tích sẽ bằng 0.

### Kết luận

Do đó, biểu thức đã cho rút gọn thành:

\[
0.
\]

...Xem thêm

Answer 2