### 1. Cho tam giác ABC với \( a = 20 \, \text{cm}, b = 18 \, \text{cm}, \angle B = 100^\circ \), tính diện tích \( S \) và cạnh \( c \):

#### Bước 1: Tính cạnh \( c \) (dùng định lý cosine)
Theo định lý cosine:
\[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(B)
\]
Thay các giá trị vào:
\[
c^2 = 20^2 + 18^2 - 2 \cdot 20 \cdot 18 \cdot \cos(100^\circ)
\]
\[
c^2 = 400 + 324 - 720 \cdot (-0.1736) \quad (\text{vì} \cos(100^\circ) = -0.1736)
\]
\[
c^2 = 724 + 124.992 = 848.992
\]
\[
c = \sqrt{848.992} \approx 29.14 \, \text{cm}
\]

#### Bước 2: Tính diện tích \( S \) (dùng công thức diện tích tam giác với hai cạnh và góc xen giữa)
Công thức diện tích tam giác:
\[
S = \frac{1}{2}ab \sin(B)
\]
Thay các giá trị vào:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 18 \cdot \sin(100^\circ)
\]
\[
S = 180 \cdot 0.9848 \quad (\text{vì} \sin(100^\circ) = 0.9848)
\]
\[
S \approx 177.26 \, \text{cm}^2
\]

### 2. Cho tam giác EHK với \( EH = 8 \, \text{cm}, EK = 10 \, \text{cm}, HK = 14 \, \text{cm} \), tính diện tích \( S \) và bán kính \( R \) của đường tròn ngoại tiếp:

#### Bước 1: Tính diện tích \( S \) (dùng công thức Heron)
Công thức Heron:
\[
s = \frac{EH + EK + HK}{2} = \frac{8 + 10 + 14}{2} = 16
\]
Diện tích \( S \):
\[
S = \sqrt{s(s - EH)(s - EK)(s - HK)}
\]
\[
S = \sqrt{16(16 - 8)(16 - 10)(16 - 14)} = \sqrt{16 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 2}
\]
\[
S = \sqrt{1536} \approx 39.19 \, \text{cm}^2
\]

#### Bước 2: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp \( R \)
Công thức bán kính \( R \):
\[
R = \frac{EH \cdot EK \cdot HK}{4S}
\]
\[
R = \frac{8 \cdot 10 \cdot 14}{4 \cdot 39.19} \approx \frac{1120}{156.76} \approx 7.14 \, \text{cm}
\]

### 3. Cho tam giác ABC với \( \angle B = 50^\circ, \angle C = 65^\circ, BC = 36 \, \text{m} \), tính cạnh \( AC \) và bán kính \( r \) của đường tròn nội tiếp:

#### Bước 1: Tính cạnh \( AC \) (dùng định lý sine)
Theo định lý sine:
\[
\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}
\]
Trước tiên, tính góc \( A \):
\[
A = 180^\circ - 50^\circ - 65^\circ = 65^\circ
\]
Bây giờ thay vào định lý sine:
\[
\frac{AC}{\sin 50^\circ} = \frac{36}{\sin 65^\circ}
\]
\[
AC = \frac{36 \cdot \sin 50^\circ}{\sin 65^\circ} = \frac{36 \cdot 0.7660}{0.9063} \approx 30.43 \, \text{m}
\]

#### Bước 2: Tính bán kính đường tròn nội tiếp \( r \) (dùng công thức bán kính đường tròn nội tiếp tam giác)
Công thức bán kính đường tròn nội tiếp:
\[
r = \frac{S}{s}
\]
Trong đó, \( S \) là diện tích tam giác và \( s \) là nửa chu vi tam giác. Sử dụng định lý Heron để tính diện tích trước.

### 4. Tính chiều cao của tháp Hải Đăng AB
Cho góc \( \angle BPA = 35^\circ, \angle BQA = 48^\circ \), khoảng cách giữa P và Q là 300 m, và ta cần tính chiều cao của tháp Hải Đăng AB.

#### Bước 1: Sử dụng định lý tangent trong tam giác vuông
Ta sẽ tính chiều cao \( AB = h \) bằng cách phân tích tam giác vuông và áp dụng định lý tangent.

### 1. Tính diện tích S và cạnh b của tam giác ABC

Cho tam giác ABC với:
- \( a = 20 \, \text{cm} \)
- \( c = 18 \, \text{cm} \)
- \( \angle B = 100^\circ \)

**Tính cạnh b:**
Sử dụng định lý Cosine:
\[
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos B
\]
Thay các giá trị vào:
\[
b^2 = 20^2 + 18^2 - 2 \cdot 20 \cdot 18 \cdot \cos(100^\circ)
\]
Tính toán:
- \( \cos(100^\circ) \approx -0.1736 \)
\[
b^2 = 400 + 324 + 2 \cdot 20 \cdot 18 \cdot 0.1736
\]
\[
b^2 = 724 + 139.68 \approx 863.68
\]
\[
b \approx \sqrt{863.68} \approx 29.39 \, \text{cm}
\]

**Tính diện tích S:**
Sử dụng công thức diện tích:
\[
S = \frac{1}{2} a c \sin B
\]
Thay các giá trị vào:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 18 \cdot \sin(100^\circ)
\]
- \( \sin(100^\circ) \approx 0.9848 \)
\[
S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 18 \cdot 0.9848 \approx 176.64 \, \text{cm}^2
\]

### 2. Tính diện tích S và bán kính R của tam giác MNP

Cho tam giác MNP với:
- \( MN = 8 \, \text{cm} \)
- \( MB = 10 \, \text{cm} \)
- \( NP = 14 \, \text{cm} \)

**Tính diện tích S:**
Sử dụng công thức Heron:
- Tính chu vi \( s \):
\[
s = \frac{MN + MB + NP}{2} = \frac{8 + 10 + 14}{2} = 16 \text{ cm}
\]

- Tính diện tích S:
\[
S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{16(16-8)(16-10)(16-14)}
\]
\[
= \sqrt{16 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 2} = \sqrt{192 \cdot 8} = \sqrt{1536} \approx 39.2 \text{ cm}^2
\]

**Bán kính R:**
Sử dụng công thức bán kính:
\[
R = \frac{abc}{4S}
\]
Tính R với \( a = 8, b = 10, c = 14 \):
\[
R = \frac{8 \cdot 10 \cdot 14}{4 \cdot 39.2} = \frac{1120}{156.8} \approx 7.13 \text{ cm}
\]

### 3. Tính cạnh BC và bán kính r của tam giác ABC

Cho tam giác ABC với:
- \( \angle A = 50^\circ \)
- \( \angle C = 65^\circ \)
- \( AC = 30 \, \text{m} \)

**Tính góc B:**
\[
\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 50^\circ - 65^\circ = 65^\circ
\]

**Tính cạnh BC:**
Sử dụng định lý Sin:
\[
\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \implies BC = \frac{AC \cdot \sin A}{\sin B}
\]
\[
BC = \frac{30 \cdot \sin(50^\circ)}{\sin(65^\circ)}
\]
- \( \sin(50^\circ) \approx 0.766 \)
- \( \sin(65^\circ) \approx 0.906 \)
\[
BC = \frac{30 \cdot 0.766}{0.906} \approx 25.4 \, \text{m}
\]

**Bán kính r:**
\[
R = \frac{abc}{4S}
\]
Tính S trước (dùng công thức Heron tương tự như trên) và sau đó tính bán kính R.

### 4. Tính chiều cao AB của ngọn núi

Cho điểm C, D cách nhau 1 km trên mặt đất, với góc nâng lần lượt là 32 độ và 40 độ.

**Gọi:**
- Chiều cao AB = h
- \( AC \) = chiều cao từ C lên A: \( h_1 = h \)
- \( AD \) = chiều cao từ D lên A: \( h_2 = h \)

**Tính chiều cao:**
\[
\tan(32^\circ) = \frac{h}{1} \implies h = \tan(32^\circ) \approx 0.6249 \, \text{km}
\]
\[
\tan(40^\circ) = \frac{h}{1} \implies h = \tan(40^\circ) \approx 0.8391 \, \text{km}
\]
Do đó, cần xác định chiều cao tổng quát từ cả hai thông số.

Trường hợp nghiên cứu một số góc trên thể cây gần nhất với nhau, có thể chạy ra công thức nhằm ra để tìm chiều cao tổng.

Tóm lại:
- **h tại điểm C**: chiều cao đỉnh A được tìm thấy gần hơn khi nhìn từ độ cao 32 độ.
- **h tại điểm D**: chiều cao đỉnh A được tìm thấy gần hơn khi nhìn từ độ cao 40 độ.

Kết quả sẽ là:

- h cao tối ưu, bằng cách làm cả tổng:
- H = Độ gần của từng hoạt động đo.
- Trung bình trên các nâng độ.

Cảm ơn bạn, nếu cần rõ hơn cho từng cách rõ rệt vui lòng cho biết.