Quảng cáo
1 câu trả lời 22
Để tìm giá trị của \( m \) sao cho khoảng cách từ gốc O đến tiệm cận xiên hoặc ngang là nhỏ nhất, ta sẽ phân tích hàm số:
\[
y = \frac{m x^2 + (m^2 + m + 2)x + m^2 + 3}{x + 1}
\]
**Bước 1: Tìm tiệm cận**
Tiệm cận ngang xảy ra khi \( x \to \infty \):
\[
y \approx \frac{m x^2}{x} = mx \quad \text{(khi \( x \) lớn)}
\]
Vì vậy, không có tiệm cận ngang.
Tiệm cận xiên là \( y = mx + b \) với \( b \) là hằng số:
Để tìm \( b \), ta thực hiện phép chia đa thức:
Chia \( mx^2 + (m^2 + m + 2)x + (m^2 + 3) \) cho \( x + 1 \):
1. Chia \( mx^2 \) cho \( x \) được \( mx \).
2. Nhân \( mx \) với \( (x + 1) \) được \( mx^2 + mx \).
3. Trừ đi: \( (m^2 + m + 2)x - mx = (m^2 + 2)x + (m^2 + 3) \).
4. Chia \( (m^2 + 2)x \) cho \( x \) được \( m^2 + 2 \).
5. Nhân \( (m^2 + 2) \) với \( (x + 1) \) được \( (m^2 + 2)x + (m^2 + 2) \).
6. Trừ đi: \( (m^2 + 3) - (m^2 + 2) = 1 \).
Vậy, ta có:
\[
y = mx + (m^2 + 2) + \frac{1}{x + 1}
\]
**Bước 2: Xác định tiệm cận xiên**
Tiệm cận xiên là \( y = mx + (m^2 + 2) \).
**Bước 3: Tính khoảng cách từ O đến tiệm cận**
Khoảng cách từ gốc O đến đường thẳng \( y = mx + b \) là:
\[
d = \frac{|b|}{\sqrt{1 + m^2}} = \frac{|m^2 + 2|}{\sqrt{1 + m^2}}
\]
**Bước 4: Tìm \( m \) để \( d \) nhỏ nhất**
Ta cần tối thiểu hóa:
\[
f(m) = \frac{|m^2 + 2|}{\sqrt{1 + m^2}}
\]
**Bước 5: Xét trường hợp \( m^2 + 2 \geq 0 \)**
Ta có:
\[
f(m) = \frac{m^2 + 2}{\sqrt{1 + m^2}}
\]
Tính đạo hàm và tìm cực trị:
\[
f'(m) = \frac{(2m \sqrt{1+m^2}) - (m^2 + 2) \frac{m}{\sqrt{1 + m^2}}}{1 + m^2}
\]
Đặt \( f'(m) = 0 \) và giải:
Cực trị xảy ra khi:
\[
2m(1 + m^2) - (m^2 + 2)m = 0 \implies m^3 + 2m - 2 = 0
\]
**Bước 6: Giải phương trình**
Sử dụng phương pháp thử nghiệm hoặc Newton-Raphson để tìm nghiệm của \( m^3 + 2m - 2 = 0 \).
Giả sử \( m = 1 \):
\[
1^3 + 2(1) - 2 = 1 \quad \text{(không phải)}
\]
Giả sử \( m = 0 \):
\[
0 + 0 - 2 = -2 \quad \text{(không phải)}
\]
Giả sử \( m = -1 \):
\[
(-1)^3 + 2(-1) - 2 = -1 - 2 - 2 = -5 \quad \text{(không phải)}
\]
Tiến hành thử nghiệm và tìm nghiệm gần với \( m \approx 1 \).
Sau khi tìm nghiệm \( m \) và kiểm tra khoảng cách, ta có giá trị nhỏ nhất cho khoảng cách.
**Kết luận:** Tìm được \( m \) trong khoảng \( m \) là nghiệm của phương trình \( m^3 + 2m - 2 = 0 \) sẽ cho khoảng cách nhỏ nhất từ gốc O đến tiệm cận xiên.
Quảng cáo