Để tìm nghiệm âm lớn nhất của phương trình \( \cos(x + \frac{\pi}{3}) = \sin x \), ta có thể biến đổi nó thành dạng có thể giải được.

1. **Sử dụng đồng nhất thức:**
Ta biết rằng \( \sin x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \). Do đó, phương trình có thể viết lại như sau:

\[
\cos(x + \frac{\pi}{3}) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)
\]

2. **Áp dụng định lý về các góc bằng nhau:**
Từ đây, ta có hai trường hợp:

a) \( x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} - x + 2k\pi \) (với \( k \in \mathbb{Z} \))

b) \( x + \frac{\pi}{3} = -\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + 2k\pi \)

3. **Giải từng trường hợp:**

**Trường hợp a:**
\[
x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} - x + 2k\pi
\]
\[
2x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi
\]
\[
2x = \frac{3\pi - 2\pi}{6} + 2k\pi = \frac{\pi}{6} + 2k\pi
\]
\[
x = \frac{\pi}{12} + k\pi
\]

**Trường hợp b:**
\[
x + \frac{\pi}{3} = -\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + 2k\pi
\]
\[
x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2} + x + 2k\pi
\]
\[
\frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi
\]
\[
\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = 2k\pi
\]
\[
\frac{5\pi}{6} = 2k\pi
\]
Không có nghiệm cho trường hợp này vì \( k \) không thể là số nguyên.

4. **Tìm nghiệm âm lớn nhất:**
Từ trường hợp a, nghiệm là \( x = \frac{\pi}{12} + k\pi \).

Để tìm nghiệm âm lớn nhất, ta chọn \( k = -1 \):
\[
x = \frac{\pi}{12} - \pi = \frac{\pi}{12} - \frac{12\pi}{12} = -\frac{11\pi}{12}
\]

5. **Kiểm tra nghiệm:**
Ta có thể kiểm tra nghiệm này để đảm bảo nó thỏa mãn phương trình ban đầu.

Vậy, nghiệm âm lớn nhất của phương trình \( \cos(x + \frac{\pi}{3}) = \sin x \) là:
\[
-\frac{11\pi}{12}
\]