Để chứng minh rằng \( AE = CF \), chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình bình hành và một số yếu tố hình học cơ bản.

1. **Đặc điểm hình bình hành**:
- Trong hình bình hành ABCD, các cạnh đối diện bằng nhau, tức là \( AB = CD \) và \( AD = BC \).
- Các góc ở cùng một vị trí là bằng nhau, tức là \( \angle ABC = \angle ADC \) và \( \angle BCD = \angle DAB \).

2. **Vẽ AE và CF**:
- Với điểm \( A \) trên cạnh \( AD \) và điểm \( C \) trên cạnh \( BC \), chúng ta vẽ các đoạn thẳng \( AE \) và \( CF \) vuông góc với \( BC \).

3. **Tính chất vuông góc**:
- Vì \( AE \) vuông góc với \( BC \) và \( CF \) cũng vuông góc với \( BC \), thì theo định nghĩa:
- Gọi \( E \) là giao điểm của \( AE \) với \( BC \).
- Gọi \( F \) là giao điểm của \( CF \) với \( BC \).
- Điều này có nghĩa là \( AE \) và \( CF \) là các đường cao từ các đỉnh khác nhau của hình bình hành xuống cạnh \( BC \).

4. **Xét tam giác vuông**:
- Ta có hai tam giác vuông:
- Tam giác \( AEB \) và tam giác \( CFB \).
- Trong hai tam giác này, góc \( \angle AEB = \angle CFB = 90^\circ \).
- Hơn nữa, chiều dài \( AB \) và \( BC \) là bằng nhau do \( ABCD \) là hình bình hành.

5. **Sử dụng định lý Pythagore**:
- Áp dụng định lý Pythagore cho các tam giác vuông:
\[
AB^2 = AE^2 + EB^2 \quad (1)
\]
\[
BC^2 = CF^2 + FB^2 \quad (2)
\]
- Từ tính chất của hình bình hành, ta có \( AB = BC \) nên \( AB^2 = BC^2 \).
- Do đó, từ (1) và (2) có thể khẳng định rằng:
\[
AE^2 + EB^2 = CF^2 + FB^2
\]

6. **Xét các đoạn thẳng**:
- Chú ý rằng \( EB \) và \( FB \) cũng là các độ dài từ các đỉnh xuống cạnh \( BC \), mà do tính chất đối xứng của hình bình hành, chúng có thể bằng nhau. Do đó, \( EB = FB \).

7. **Kết luận**:
- Từ bước 5 và sự đồng nhất của \( EB \) và \( FB \), ta suy ra:
\[
AE^2 = CF^2
\]
- Kết quả là:
\[
AE = CF
\]

Vậy, chúng ta đã chứng minh rằng \( AE = CF \).